1/8常微分方程练习题班级：学号：姓名：第一二章一．填空题1．称为一阶线性方程，它有积分因子，其通解为。2．一阶微分方程是恰当方程的充分必要条件是________________。3.方程0),(),(dyyxNdxyxM有只含x的积分因子的充要条件是__________________。有只含y的积分因子的充要条件是________________________。4．称为伯努利方程，它有积分因子。5.一曲线经过原点，且曲线上任意一点yx,处的切线斜率为yx2，则曲线方程为_____________________。二.求一曲线，其切线在纵轴之截距等于切点的横坐标。三.求出伯努利方程的积分因子。四．求下列方程的通解。1．33(1)0yxy2.dxdy=312yxyx3．x(4ydx+2xdy)+y3(3ydx+5xdy)=04．（y-1-xy）dx+xdy=05．dxdy=y+sinx6．(x2y3+xy)y'=12/87．(x2-1)y'+y2-2xy+1=08.32yxdx+4223yxydy=09.0)(42dxyxyxdy。10.5ddxyyxy五．证明题。1．一阶非齐线性方程的任两解之差必为相应的齐线性方程的解2．齐线性方程的任一解的常数倍或任两解之和仍为其解。第三章一．填空：1．函数f(x,y)称为在矩形域R上满足利普希兹条件，如果。2．对毕卡逼近序列，xxkk1。3．若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程yxfdxdy,的解00,,yxxy作为00,,yxx的函数在它的存在范围是。4．微分方程的奇解是指__________________________。5．方程22yxdxdy定义在矩形域R：22,22yx上，则经过点（0，0）的解的存在区间是_____________________-。二．求解下列各题：1．求方程2yxdxdy过点（0，0）的第三次近似解。3/82．求初植问题0122yyxdxdyR；1,11yx的解的存在区间，并求第二近似解，给出解的存在区间的误差。三．证明题：假设函数yxf,于00,yx的领域内是y的不增函数，试证方程yxfdxdy,满足条件00yxy的解于0xx一侧最多只有一个。第四章一．填空：1．_____________________称为n阶齐线性微分方程。2．1x)(t非零为二阶齐线性方程''x1a)(t2'axxt)(0的解，这里ta1和ta2于区间ba,上连续，则tx2是方程解的充要条件是_________________。３．常系数非齐线性方程中，若tmmmmebtbtbtbtf1110，其中与ib为实常数，那么方程有形如___________的特解。４．在n阶常系数齐线性方程中，naaa,2,1为常数，则它的特征方程为_____________________。５．若方程022yxqdxdyxpdxyd中满足_______________条件，则方程有形如0nnnxay的特解。６．微分方程03'2'''4yyxy的阶数为_____________。７．设01tx是二阶齐线性方程0'''21xtaxtax的一个解,则方程的通解可表为________８．解线性方程的常用方法有____、_____、_____、_____4/8９．若)2,1,0(nitxi为齐线性方程的n个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为__________.10.若),,2,1(nitxi为齐线性方程的一个基本解组,tx为非齐线性方程的一个特解,则非齐线性方程的所有解可表___.11.若)(txii(1，2，⋯⋯，)n是齐线性方程的n个解，)(tw为其伏朗斯基行列式，则)(tw满足一阶线性方程_______________________。12.函数_______________是微分方程02yyy的通解.13.微分方程0lnlnydyxxdxy满足初始条件eyex的特解是__________________.14.方程02yyy的基本解组是．15.常系数方程有四个特征根分别为（二重根），那么该方程有基本解组（）二．计算１．求通解yyy2'1''2２．求特解xxexeyyy'2''，11'1yy３．设二阶非齐线性方程的三个特解为xxyxxyxycos,sin,321求其通解４．求解方程xyy５．求方程2233'4'''''xxyyxyx的通解６．求方程0'''yxyy的解．７．求解方程1442'''tteexxx８．求初始问题的解：15,0,029400xxyyyyy5/8９．求解方程三．设可导函数x满足1sin2cos0xtdttxxx，求x四．证明题1.若函数txtxtxn,,,21为n阶齐线性方程的n个线性相关解，则它们的伏朗斯基行列式0tw2．试证n阶非齐线性方程存在且最多存在n+1个线性无关解。3.在方程0)()(yxqyxpy中，)(),(xqxp在),(上连续，求证：若)(xp恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(xW是),(上的严格单调函数．第五章一、填空题1．设)(t是方程组)()(tfxtAx的定义于区间bta上且满足初始条件)(0t的解，则)(t是积分方程_______________________的定义于bta上的______解。反之亦然。2．在证明用皮卡逼近时，我们...
