高考数学归纳法的常考题型VIP免费

高考数学归纳法的常考题型文/谭著名一、题意直接指明利用数学归纳法证题的探索题型例1已知数列}nx满足：*1111,21nnxxnNx＋’＝＝.(1)猜想数列2nx的单调性,并证明你的结论.(2)证明：1112|()65nnnxx-|≤.(1)解：由和，得.由246xxx，猜想：数列2nx是递减数列.下面用数学归纳法证明.①当n=1时，命题成立.②假设当n=k时命题成立，即222kkxx，易知20kx，那么23212224212321231111(1)(1)kkkkkkkkxxxxxxxx=22222122230(1)(1)(1)(1)kkkkkkxxxxxx，即2(1)2(1)2kkxx，也就是说，当n=k+1时命题也成立.结合①②，可知命题成立.(2)证明：①当n=1时，12116nnxxxx，结论成立.②假设当时命题成立，则有.当2n时，易知1111101,12,12nnnnxxxx..当时，111115(1)(1)(1)(1)212nnnnnxxxxx.也就是说，当时命题成立.结合①②，可知命题成立.小结本题中明确说明“先猜想再证明”的数学归纳法的证题思路.观察、归纳、猜想、证明是解决这类探索型问题的思维方式，其关键在于进行正确、合理的归纳猜想，否则接下来的证明只能是背道而驰了.二、与正整数有关的不等式证明通常采用数学归纳法的证明题型例2等比数列{na}的前n项和为nS，已知对于任意的，点(,)nnS均在函数(0xybrb且1,,bbr均为常数)的图像上.(1)求r的值.(2)当时，记，证明：对于任意的，不等式成立.(1)解：因为对于任意的，点(,)nnS均在函数(0xybrb且1,,bbr均为常数)的图像上，所以有nnSbr.当1n时，11aSbr.当2n时，1111()(1)nnnnnnnnaSSbrbrbbbb.又数列{na}是等比数列，所以1r，公比为b，1(1)nnabb.(2)证明：当时，11(1)2nnnabb，1222(log1)2(log21)2nnnban，则1212nnbnbn，所以121211135721·······2462nnbbbnbbbn.下面用数学归纳法证明不等式121211135721·······12462nnbbbnnbbbn成立.①当1n时，左边=32，右边=2.由于322，所以不等式成立.②假设当nk时不等式成立，即121211135721·······12462kkbbbkkbbbk成立，则当1nk时，左边=11212111113572123·······246222kkkkbbbbkkbbbbkk2223(23)4(1)4(1)111(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)kkkkkkkkkkk.所以当1nk时，不等式也成立.综合①②，可知不等式恒成立.小结数学归纳法是证明不等式的一种重要方法.与正整数有关的不等式，如果用其他方法证明比较困难时，我们通常会考虑用数学归纳法.用数学归纳法证明不等式时，我们应分析与相关的两个不等式，找出证明的目标式子和关键点，适当地利用不等式的性质、比较法、分析法、放缩法等方法证得结论.三、利用数学归纳法比较两个与正整数有关的代数式大小的题型例3已知数列na的前n项和11()22nnnSa(n为正整数).(1)令2nnnba，求证数列nb是等差数列，并求数列na的通项公式.(2)令1nnncan，，试比较nT与521nn的大小，并予以证明.(1)证明：在11()22nnnSa中，令n=1，可得1112nSaa，即112a.当2n时，21111111()2()22nnnnnnnnnSaaSSaa，.11n1112a(),212nnnnnaaan即2.112,1,n21nnnnnnbabbbn即当时，b.又1121,ba数列nb是首项和公差均为1的等差数列.于是有1(1)12,2nnnnnnbnnaa.(2)解：由(1)可得11(1)()2nnnncann，所以，①.②①-②，得11111[1()]133421(1)()122212332nnnnnnnnT535(3)(221)3212212(21)nnnnnnnnnTnnn.于是确定521nnTn与的大小关系等价于比较221nn与的大小.由可猜想当3221.nnn时，证明如下：(i)当n=3时，由上验算可知不等式显然成立.(ii)假设当时，成立.则当1nk时，.所以当1nk...