7.3逐次超松弛迭代法7.3.1SOR迭代公式再由i与加权平均得严=(1-眄护+皈严=孕+吩汁炉)即(、D-逛)X(U1)=[(1-血D十曲7k⑻十泌于是得SOR迭代的矩阵表示(7.3.3)其中逐次超松弛(SuccessiveOverRelaxation)迭代法，简称SOR迭代法，它是在GS法基础上为提高收敛速度，采用加权平均而得到的新算法，设解方程(7.1.3)的GS法记为这里®〉0称为松弛参数，将(7.3.1)代入则得(7.3.2)称为SOR迭代法，[WTBX]®〉0称为松弛因子，当3=1时(7.3.2)即为GS法，将(7.3.2)写成矩阵形式,则得(7.3.4)孔，二丄9-血)按(7.1.7)分解，有由凡=-[(1一眄0斗旋门例7.7给定方程组T精确解，，用SOR法求解,430'X'-24-34-1300-14严.-24分别取®=1及3=125.若SOR法收敛，则Q1由卩「田卜加亠）*1，则得0<®<2.证毕.pC巳）=蠹悶书…血1弘tqJJi-釧解用SOR迭代公式（7.3.2）可得卜If屮十专@4-琲）心严）=（—血谭十#®-张严）十炉）老冋=（1-町谭+扌日4七严】）取X®=（1丄1）：迭代7次后分别为沪1,^C7）=（3.0134110,3.9383241,-5.0027940）『^=1.25,何=（3.0000498,4.0002586,-5.0003436/若要精确到小数后7位，对®=1（即GS法）需迭代34次，而对®=1.25的SOR法，只需迭代14次•它表明松弛因子®选择的好坏，对收敛速度影响很大.7.3.2SOR迭代法收敛性pCc?J<1根据迭代法收敛性定理，SOR法收敛的充分必要条件为，收敛的充分条件为PUK1,但要计算比较复杂，通常都不用此结论，而直接根据方程组的系数矩阵A判断SOR迭代收敛性，下面先给出收敛必要条件.定理3.1设X3計：旳工呃二12…®则解方程血^的SOR迭代法收敛厂1证明由SOR迭代矩阵曲的表达式（7.3.4）氏—就）J［（1—卬妙十由于是detG^=det(Z?-^)_Ldet[(l-^)D+OJU]=det£)_1det[(l-^)£)]=(1-另一方面，设Eq的特征值为兀…儿股，由特征根性质，有(7.3.定理3.2若直亡RE：对称正定，且0<®<2,则解Ax=b的SOR迭代法(7.3.3)对淀农”迭代收敛.G2证明设曲的特征值为兄(可能是复数)，对应特征向量x#0,由(7.3.4)得[(1_巴)2?斗田□肚=几〔卫_说汗因k=D-L-U^实对称矩阵，故=厂，上式两边与x作内积，得C1_帯)(D")+田旧心乳)=2[〔Zk,X)-兀2T)]于是由(7.3.5)有由于A正定及0<®<2，故(AH,丈)=(DK,K)-①蛊,或-(Uk,x)=p-2a>0于是中_创>_©)『_(护_血『=誉曲(2_曲)(加_护)°•又记(卫匚J〜十词，，由复内积性质得且P戸亿),如图7-1所示.由(7.3.7)可知，当3=1,用SOR迭代法求最优松弛因子叫,并研究其收敛速度.故^7)=./5?8-0.790^0=0.625故Q(GS)7.24若要使误差-10‘1,由R2%)=-hi成血*)--hi0.24-1.42717kl0^11.2944叼)，取k=12即可.例7.7中取3=1.25已近似L24，故它收敛很快，实际计算时迭代14次可达到小数后7位精度.对®=1的GS法，由艮〔°）——血Q（了=一血"血"达到与SOR法的同样精度.说明GS法比J法快一倍.例7.8对例7.7中的方程组,解由于是对称正定的三对角矩阵，SOR迭代收敛.而SOR最优松弛因子zTlnJO34294迭代次数氏〔⑦，故k^34与实际计算结果相符.讲解：+引GSOR迭代法只是GS法与归值可的加权平均，计算公式为（7.3.2），迭代矩阵回为（7.3.4），通常只是对A对称正定的方程组使用SOR法，而松弛因子®选择较困难，一般选择1<2对于2A为对称正定的三对角阵则最好最有因子吧为，其中艮二嘗卩前』」为j法的迭代矩阵。此时SOR的迭代矩阵谱半径为=叫-1,注意不要具体求，更不要去计算（3曲的特征值。如例7.8中所示，求得田厂1'24,则汎。型）=°工4,从而可以求得SOR迭代的收敛速度RQ曙）二hpQ吐）.【本章小结】1.本章主要内容是用迭代法求解线性方程组，重点为J法，GS法和SOR迭代法，首先必须掌握各种迭代法的计算公式和迭代矩阵的表达式以及迭代法收敛的充分必要条件和充分条件，并用这些理论判别方程组Ax=b的收敛性，为...
