二○○一年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当划分档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次．一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．1．已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0，x∈R}的子集的个数为（A）1（B）2（C）4（D）不确定【答】（C）【解】方程x2-3x-a2+2=0的根的判别式Δ=1+4a2>0，方程有两个不相等的实数根．由M有2个元素，得集合M有22=4个子集．2．命题1长方体中，必存在到各顶点距离相等的点;命题2长方体中，必存在到各棱距离相等的点;命题3长方体中，必存在到各面距离相等的点.以上三个命题中正确的有（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个【答】（B）【解】只有命题1对．3．在四个函数y=sin|x|，y=cos|x|，y=|ctgx|，y=lg|sinx|中以为周期、在(0，)上单调递增的偶函数是（A）y=sin|x|（B）y=cos|x|（C）y=|ctgx|（D）y=lg|sinx|【答】（D）【解】y=sin|x|不是周期函数．y=cos|x|=cosx以2为周期．y=|ctgx|在（0，）上单调递减．只有y=lg|sinx|满足全部条件．4．如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是（A）k=（B）0
24,4x+5yx+3y=a>24,4x+5y=b<22,解出x=,y=.所以2x-3y==0，即2x>3y．也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上．7．椭圆的短轴长等于．【解】故．从而．8．若复数z1，z2满足|z1|=2，|z2|=3，3z1-2z2=，则z1·z2=．【解】由3z1-2z2==可得．本题也可设三角形式进行运算．9．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是．【解】作正方体的截面BB1D1D，则A1C1⊥面BB1D1D．设A1C1与B1D1交于点O，在面BB1D1D内作OH⊥BD1，H为垂足，则OH为A1C1与BD1的公垂线．显然OH等于直角三角形BB1D1斜边上高的一半，即OH=．10.不等式的解集为．【解】等价于或．即或．此时或或．∴解为x>4或00．由此得a12(a1+2d)2=(a1+d)4化简得2a12+4a1d+d2=0解得d=()a1.…………………………………………………………...
