二零零二年全国高中数学联赛试卷一试题(2002年10月13日上午8：00—9：40)一．选择题(本小题满分36分，每小题6分)：1．函数f(x)=log(x2－2x－3)的单调递增区间是A．(－∞，－1)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(3，＋∞)2．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2=142，则x2＋y2的最小值为A．2B．1C．D．3．函数f(x)=－A．是偶函数但不是奇函数B．是奇函数但不是偶函数C．既是奇函数也是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数4．直线+=1与椭圆+=1相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB面积等于3．这样的点P共有A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知两个实数集合A={a1，a2，a3，…，a100}，与B={b1，b2，…，b50}，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)，则这样的映射共有A．CB．CC．CD．C6．由曲线x2=4y，x2=－4y，x=4，x=－4围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2＋y2≤16，x2＋(y－2)2≥4，x2＋(y＋2)2≥4的点绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，则A．V1=V2B．V1=V2C．V1=V2D．V1=2V2二．填空题(本题满分54分，每小题9分)7．已知复数Z1、Z2满足|Z1|=2，|Z2|=3，若它们所对应的向量的夹角为60，则=；8．将二项式的展开式按x的降幂排列，若前三项的系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有个；9．如图，点P1、P2、…，P10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组(P1，Pi，Pj，Pk)(11)，使得存在tR，只要x[1，m]，就有f(x＋t)≤x．二试题(本卷共三个大题，共150分，每题50分)一．在ΔABC中，∠BAC=60，AB>AC，点O为ΔABC的外心，两条高BE、CF的交于点H，点M、N分别在线段BH与HF上，且满足BM=CN．求的值．二．实数a，b，c和正数λ使得f(x)=x3＋ax2＋bx＋c有三个实根x1，x2，x3，且满足⑴x2－x1=λ；⑵x3>(x1＋x2)．求的最大值．三．在世界杯足球赛前，F国的教练员为了考察A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7这七名队员，准备让他们在三场训练比赛(每场比赛90分钟)中都上场，假设在比赛的任何时刻，这些队员都有且只有一人在场上，并且A1、A2、A3、A4每人上场的总时间(以分钟为单位)均被7整除，A5、A6、A7每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除．如果每场换人的次数不限，那么，按每名队员上场的总时间计，共有多少种不同的情况？2002年全国高中数学联赛解答一试题(2002年10月13日上午8：00—9：40)一．选择题(本小题满分36分，每小题6分)：1．函数f(x)=log(x2－2x－3)的单调递增区间是A．(－∞，－1)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(3，＋∞)解：由x2－2x－3>0，得x<－1或x>3．在x∈(－∞，－1)时，u=x2－2x－3单调减，f(x)单调增；在x∈(3，+∞)时，u=x2－2x－3单调增，f(x)单调减．故选A2．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2=142，则x2＋y2的最小值为A．2B．1C．D．解：令x+5=14cosθ，y－12=14sinθ，则x2+y2=196+28(5cosθ－12sinθ)+169=365+364sin(θ+φ)≥1．选B．(亦可用几何意义解：圆上点到原点距离平方的最小值)3．函数f(x)=－A．是偶函数但不是奇函数B．是奇函数但不是偶函数C．既是奇函数也是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数解...
