角的平分线的性质（习题课2课时）教学目标:1:角平分线是过角的顶点，且在角的内部的一条射线，它把一个角分成两个相等的角，它与角的两边三线共点.(角的顶点)2:角平分线是到角两边距离相等的所有点的集合.关于这一点需从两个方面去说明：①角平分线上的点到角两边的距离相等.②到角两边距离相等的点在角平分线上.进而推广到一般，若要证明某一图形B是满足条件A的点的集合，要说明两点：①图形B上的所有点满足条件A.②满足条件A的所有点都在图形B上.3:关于命题“角平分线上的点到角两边距离相等”的证明，先要分清题目的题设部分及结论部分.依照命题准确作出图形，写出已知、求证，再利用相关知识进行证明，这也是证明一个命题(定理)的几个基本步骤.4:角平分线性质定理及其逆定理(判定定理)的证明分别利用了全等三角形中“AAS”定理及“HL”公理.难点：是“角平分线是到角两边距离相等的点的集合”这一结论的理解及运用.教学过程:例1△ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=64，BD∶DC=9∶7,求D到AB的距离.(图3.9-1)图3.9-1分析设DE为D到AB的距离，由角平分线性质CD=DE，再由已知可求CD、DE.解作DE⊥AB于E， ∠C=90°，DC⊥AC，又AD为∠BAC平分线，∴DC=DE，BC=64，BD∶DC=9∶7∴DC=×64=28∴DE=28例2求证：三角形三条内角平分线交于一点.分析此类命题证明需先作图，写出已知、求证，再根据条件进行证明.证明三直线共点，常用方法之一为二直线的交点必在第三条直线上，此题中，可考虑如图3.9-2，设∠ABC与∠ACB的平分线交于O，再证AO平分∠BAC.图3.9-2已知：△ABC中，AA′，BB′，CC′为角平分线，求证AA′，BB′，CC′交于一点.证设BB′，CC′交于O，过O分别作OD⊥BC于D，DE⊥AC于E，OF⊥AB于F， O在∠ABC平分线上，∴OD=OF.O在∠ACB平分线上，∴OE=OD∴OE=OF.∴O在∠BAC平分线上，即O在AA′上，∴AA′，BB′，CC′交于一点.注：该点称为三角形内心.例3定理“末位数字为0的整数能被5整除”是否存在逆定理？请说明理由.分析先写出逆命题：“能被5整除的整数末位数字是0”，再说明逆命题的真假，显然这是一个假命题，我们只需举一反倒即可，例如15能被5整除，但末位数字为5，故逆命题为假命题，因此原定理没有逆定理例4判断命题“两整数相加，和为整数”的逆命题的真假.解逆命题为“和为整数，则两加数必为整数”，它是一个假命题，如“+=1，+=2”等，都能说明逆命题为假命题.【难题巧解点拨】例1△ABC的周长为41cm,边BC=17cm,角平分线AD将△ABC分为面积比为3∶5的两部分，且AB＜AC，求AB，AC.(图3.9-3)图3.9-3分析设AB=x,AC=y,则有x+y+17=41，而S△ABD∶S△ADC=3∶5,此条件不好利用，故考虑AD为角平分线，它到两边的距离相等，即△ABD中AB边上的高，△ADC中AC边上的高相等，从得求出x∶y,进而求出x,y.解作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. AD为角平分线∴DE=DF AB＜AC， S△ABD∶S△ADC=（DE·AB）∶（DF·AC）=AB∶AC=3∶5∴x+y+17=41x∶y=3∶5(x＜y)∴x=9,y=15即AB=9cm,AC=15cm.例2“三角形两内角平分线的交点到三角形三边距离相等”这一命题的逆命题是真命题还是假命题？图3.9-4分析先要写出逆命题：到三角形三边距离相等的点是两内角平分线的交点.该命题是一个假命题.例如：图3.9-4，P为△ABC的两外角∠MBC和∠NCB的角平分线交点.此时P到三边AB、AC、BC的距离PD=PF=PE.而P不为△ABC的内角平分线交点.注意：不要误以为过点向△ABC三边的作垂线那么垂足一定都落在边上，也可落在边延长线上，从这里入手证明逆命题为一假命题.【同步达纲练习】一、判断（3分×8=24分）()1.P为∠AOB内一点，C在OA上，D在OB上，若PC=PD，则OP平分∠AOB.()2.到角两边距离不相等的一点一定不在角平分线上.()3.因为“三内角对应相等的两个三角形全等”是假命题，所以它的逆命题也是假命题.()4.三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三顶点的距离相等.()5.任何命题都有逆命题.()6.任何定理都有逆定理.()7.“三角形三条角平分线交点到三边距离相等”这个命题的逆命题是真命题.()8.有命题“若x=y，则x2=y2”的逆命题是个假命题.二、填空(4分×8=32分)1.角平分线是到角的两边相等的所有点的.2.三角形三内角平分线...
