等腰三角形·要点全析1．等腰三角形（isoscelestriangle）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．如图14-3-1，△ABC中，AB＝AC，则△ABC是等腰三角形．相等的两条边叫腰，另一条边BC叫底边，两腰所夹的角叫顶角，如∠BAC，底边和腰的夹角∠ABC和∠ACB叫底角．如图14-3-2中，∠C＝90°，AC＝BC，那么，AC、BC为腰，AB边为底，∠A、∠B为底角，∠C为顶角．【说明】要理解等腰三角形的定义，需注意以下几点：（1）等腰三角形的底不一定在下方，而顶角不一定在上方，如图14-3-2中，AB为底，∠C为顶角．它是根据两腰的位置来确定的．（2）等腰三角形的三边仍要满足条件：任意两边之和大于第三边（或任意两边之差小于第三边）．若图14-3-1中，AB＝AC＝m，BC＝a，则2m＞a，即m＞2a时，才能构成三角形，否则不成立．如边长分别为2，2.5的三条线段不能构成三角形因为2＋2＜5．例如：（1）下列各组数据为边长时，能否组成三角形？①a＝2，b＝3，c＝5；②a＝4，b＝3，c＝2；③a＝1，b＝2，c＝2；④a＝2005，b＝2004，c＝2008．（2）已知等腰三角形的两边为6cm，7cm，求其周长．（3）已知等腰三角形的两边长为2cm，7cm，求其周长．解：（1）①由于2＋3＝5，即a＋b＝c，而不满足a＋b＞c，∴不能组成三角形．②由于2＋3＝5＞4，即b＋c＞a，所以a、b、c可以组成三角形．③由于1＋2＞2，即a＋b＞c，所以a、b、c可以组成三角形．④由于a＋b＞c，因此a、b、c可以组成三角形．（2）因等腰三角形的两边长分别为6cm、7cm当腰长为6cm时，周长为6＋6＋7＝19（cm）当腰长为7cm时，周长为6＋7＋7＝20（cm）．∴等腰三角形的周长为19cm或20cm．（3）因等腰三角形的两边长分别为2cm，7cm，所以腰长为7cm，而不能是2cm．若为2cm，则2＋2＝4＜7，不能组成三角形．因此周长为7＋7＋2＝16（cm），∴等腰三角形的周长为16cm．2．等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）如图14-3-3，△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C证法一：（利用轴对称）过点A作△ABC的对称轴AD． AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上．又 AD为△ABC的对称轴，∴△ABD≌△ACD（轴对称性质）．∴∠B＝∠C证法二：（作顶角平分线）过点A作AD平分∠BAC交BC于D，如图14-3-3，在△ABD和△ACD中ADADCADBADACAB＝＝＝∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴∠B＝∠C【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明．证法三：如图14-3-4，过B、C分别作AC、AB边上的高BD、CE，在△ABD和△ACE中，，＝＝（公共角），＝，＝90AECADBAAACAB∴△ABD≌△ACE（AAS）．∴BD＝CE在Rt△BCD和Rt△CBE中，CEBDCBBC＝＝∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL）．∴∠B＝∠C．证法四：如图14-3-5，分别取AB、AC的中点E、D，连接BD、CE． AB＝AC，AD＝DC＝21AC，AE＝BE＝21AB，∴AD＝BE＝AE＝DC在△ABD和△ACE中，，＝，＝，＝AEADAAACAB∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴BD＝CE．在△BCE和△CBD中，＝，＝，＝CDBEBDCECBBC∴△BCE≌△CBD（SSS）．∴∠ABC＝∠ACB．【说明】从以上的证法二、三、四中可以看出，要证两角相等，都是想方设法把它们放在两个三角形中，证两个三角形全等．3．等腰三角形的性质2（简称“三线合一”）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合．如图14-3-6，在△ABC中，AB＝AC，AD为顶角的平分线，那么AD既是中线，又是高线，这三条线重合．在使用时，在这三条线段中，只要作出其中一条，另外两条也就可以认为作出来了．即△ABC中，AB＝AC，若AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD＝CD；若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；若AD⊥BC，则BD＝DC，∠BAD＝∠CAD．因此，等腰三角形中的这条线非常重要，一旦作出，边、角的等量关系就都有了．【说明】（1）“三线合一”仅限于等腰三角形中才有，其他三角形中没有．（2）在一般三角形中，这三条线是不会重合的．如图14-3-7，在△ABC中，AD为高，AE为中线，AF平分∠BAC，因此，这三条线不重合．只有等腰时，三条线才会重合；反过来，若某一三角形中三线重合，则该三角形为等腰三角形．（3）在今后的证明题中，经常会使用“三线合一”进行证明．...
