泰勒公式与极值问题VIP免费

§4泰勒公式与极值问题一、高阶导数二、中值定理与泰勒公式三、极值问题一、高阶偏导数(,)(,),(,)xyzfxyfxyfxy由于的偏导数一般仍,,xy然是的函数如果它们关于x与y的偏导数也存在,说明f具有二阶偏导数．22zzxxx2zzyxxy二元函数的二阶偏导数有如下四种形式:2zzxyyx22zzyyy11(,),fxy(,)xxfxy(,)xyfxy12(,),fxy(,)yxfxy21(,),fxy22(,)fxy(,)yyfxy混合偏导数类似地可以定义更高阶的偏导数,(,)zfxy的三阶偏导数共有八种情形:3323(,),xzzfxyxxx2222(,),xyzzfxyyxxy(,),xyxfxy2(,),yxfxy2(,),xyfxy3(,),yfxy(,),yxyfxy2(,),yxfxy混合偏导数例如解由于2e,xyzx例1322e.xyzzyx求函数的所有二阶偏导数和22e,xyzy因此有22zx2zxy2zyx22zy32zyx2(e)xyx2e;xy2(2e)xyy24e;xy2(2e)xyx22e;xy2(e)xyy22e;xy2(2e)xyx2zxyx22e.xy所以2222zyxxxy例2arctan.yzx求函数的所有二阶偏导数2222,()xyxy222zyxyyxy222zxyxxxy2222zxyyxy22222,()xyxy22222,()xyxy2222.()xyxy解22,zyxxy22,zxyxy练习P1411（1）注在上面两个例子中都有22,zzxyyx但是这个结论并不对任何函数都成立，例如函数22222222,0,(,)0,0.xyxyxyxyfxyxy42242222222(4),0,()(,)0,0;xyxxyyxyxyfxyxy42242222222(4),0,()(,)0,0.yxxxyyxyxyfxyxy它的一阶偏导数为00(0,)(0,0)(0,0)limlim1,xxxyyyfyfyfyy00(0,)(0,0)(0,0)limlim1.yyyxxxfyfxfxx由此看到,这两个混合偏导数与求导顺序有关.(0,0)f进一步求在点关于x和y的两个不同顺序的混合偏导数:在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢?为此先按定义把0000(,)(,)xyyxfxyfxy与表示成极限形式.由于0(,)(,)(,)lim,xxfxxyfxyfxyx因此有0000000(,)(,)(,)limxxxyyfxyyfxyfxyy00000(,)(,)limxfxxyfxyx000000(,)(,)1limlimyxfxxyyfxyyyx00001limlim(,)yxfxxyyxy000000(,)(,)(,);(1)fxyyfxxyfxy类似地有为使0000(,)(,)xyyxfxyfxy成立，必须使(1),(2)这两个累次极限相等.下述定理给出了使(1)与(2)相等的一个充分条件．0000001(,)limlim(,)yxxyfxyfxxyyxy000000(,)(,)(,).(2)fxxyfxyyfxy00(,)xyfxy00001limlim(,)yxfxxyyxy000000(,)(,)(,);(1)fxyyfxxyfxy证0000(,)(,).xyyxfxyfxy(3)定理17.7若(,)(,)xyyxfxyfxy与都在点00(,)xy连续，则略！注1若二元函数(,)fxy在某一点存在直到n阶的连续混合偏导数，则在这一点的所有()mmn阶混合偏导数都与求导顺序无关．注2这个定理对n元函数的混合偏导数也成立.例(,,),(,,),(,,),xyzxzyyzxfxyzfxyzfxyz如三元函数(,,)fxyz的如下六个三阶混合偏导数(,,),(,,),(,,)yxzzxyzyxfxyzfxyzfxyz若在某一点都连续，则它们在这一点都相等．今后在牵涉求导顺序问题时,除特别指出外,一般都假设相应阶数的混合偏导数连续．复合函数的高阶偏导数222(,),,.xzzzfxyxyx设求例3解(,),,.xzfuvuxvy有zx,,,,ffuvxyuv注意这里仍是以为中间变量,为自变量的复合函数．所以令1.ffyuv221zffxuyvx2222221fufvfufvxuvxyvuxxuv22222221,fffyuvuyv...