数学思维的严密性VIP免费

校本课程---数学思维与方法（三）第三讲数学思维的严密性一、概述在中学数学中，思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则，考察问题时严格、准确，进行运算和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学，论证的严密性是数学的根本特点之一。但是，由于认知水平和心里特征等因素的影响，中学生的思维过程常常出现不严密现象，主要表现在以下几个方面：概念模糊概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。它是构成判断、推理的要素。因此必须弄清概念，搞清概念的内涵和外延，为判断和推理奠定基础。概念不清就容易陷入思维混乱，产生错误。判断错误判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种思维形式。数学中的判断通常称为命题。在数学中，如果概念不清，很容易导致判断错误。例如，“函数xy)31(是一个减函数”就是一个错误判断。推理错误推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。它是判断和判断的联合。任何一个论证都是由推理来实现的，推理出错，说明思维不严密。例如，解不等式.1xx解,1,12xxx,1x或.1x这个推理是错误的。在由xx1推导12x时，没有讨论x的正、负，理由不充分，所以出错。二、思维训练实例思维的严密性是学好数学的关键之一。训练的有效途径之一是查错。(1)有关概念的训练概念是抽象思维的基础，数学推理离不开概念。“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。”例1、不等式).23(log)423(log2)2(2)2(22xxxxxx错误解法,122x,2342322xxxx.223,0622xxxx或错误分析当2x时，真数0232xx且2x在所求的范围内（因232），说明解法错误。原因是没有弄清对数定义。此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错误，表现出思维的不严密性。正确解法122x2342302304232222xxxxxxxx2231231313131xxxxxx或或或.22xx或例1、求过点)1,0(的直线，使它与抛物线xy22仅有一个交点。错误解法设所求的过点)1,0(的直线为1kxy，则它与抛物线的交点为xykxy212，消去y得：.02)1(2xkx整理得.01)22(22xkxk直线与抛物线仅有一个交点，,0解得.21k所求直线为.121xy错误分析此处解法共有三处错误：1校本课程---数学思维与方法（三）第一，设所求直线为1kxy时，没有考虑0k与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即,0k而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。正确解法当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过点)1,0(，所以,0x即y轴，它正好与抛物线xy22相切。当所求直线斜率为零时，直线为,1y平行x轴，它正好与抛物线xy22只有一个交点。设所求的过点)1,0(的直线为1kxy)0(k则xykxy212，.01)22(22xkxk令,0解得.21k所求直线为.121xy综上，满足条件的直线为：.121,0,1xyxy(2)判断的训练造成判断错误的原因很多，我们在学习中，应重视如下几个方面。①注意定理、公式成立的条件数学上的定理和公式都是在一定条件下成立的。如果忽视了成立的条件，解题中难免出现错误。例2、实数m，使方程021)4(2miximx至少有一个实根。错误解法方程至少有一个实根，.020)21(4)4(22mmiim,52m或.52m错误分析实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。正确解法设a是方...