空间直线和平面总结-知识结构图+例题VIP专享VIP免费

空间直线和平面［知识串讲］空间直线和平面：（一）知识结构（二）平行与垂直关系的论证1、线线、线面、面面平行关系的转化：线线∥线面∥面面∥公理4(a//b,b//ca//c)线面平行判定//,//abab面面平行判定1ababa//,//面面平行性质ababAab,//,////线面平行性质aabab////面面平行性质1////aa面面平行性质//////Abaab2.线线、线面、面面垂直关系的转化：线线⊥线面⊥面面⊥三垂线定理、逆定理PAAOPOaaOAaPOaPOaAO,为在内射影则线面垂直判定1面面垂直判定ababOlalbl,,aa线面垂直定义lala面面垂直性质，推论2baaba,aa面面垂直定义ll，且二面角成直二面角3.平行与垂直关系的转化：线线∥线面⊥面面∥线面垂直判定2面面平行判定2线面垂直性质2面面平行性质3abab//abab//aa////aaa4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”5.唯一性结论：（三）空间中的角与距离1.三类角的定义：（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°（时，∥或）0bb（3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。3.空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。4.点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。【典型例题】例.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么AM与CM所成角的余弦值为（）52.D53.C210.B23.A分析：如图，取AB中点E，CC1中点F连结B1E、B1F、EF则B1E//AM，B1F//NC∴∠EB1F为AM与CN所成的角又棱长为1BEBFEF11525262，，cosEBFBEBFEFBEBF11212211225∴选D例3.已知直线平面，直线平面，有下面四个命题：lm①②③④///////lmlmlmlm其中正确的两个命题是（）A.①与②B.③与④C.②与④D.①与③分析：对于①①正确llmlm//对于②，如图lamlm///∴②错对于③③正确llmmm//对于④，如图llmm///∴④错∴①③正确，选D例4.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。（1）证明PA//面EDB。（2）PB⊥平面EFD。证：（1）连AC，AC交BD于O，连EO 底面ABCD是正方形∴点O是AC中点又E为PC中点∴EO//PA又面，且面EOEDBPAEDB∴PA//面EDB（2） PD⊥底面ABCD∴BC⊥PD又且BCDCPDDCD∴BC⊥面PDC∴BC⊥DE又E为等直角三角形中点DEPCPCBCC且∴DE⊥面PBC∴DE⊥PB又已知且EFPBEFDEE∴PB⊥面DEF例5.正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB1⊥BC1，求证：A1C⊥BC1。证明：设E、E1分别是BC、B1C1的中点，连AE，A1E1，B1E，E1C则面，面及AEBBCCAEBBCCEBEC11111111//AEBBCCABBCEBBCEBECECBCAEBBCCACBC面面1111111111111111//注：三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。例6.下列正方体中，l是一条体对角线，M、N、P分别为其所在棱的中点，如何证明l⊥面MNP。（1）D1PC1MA1B1lDCABN（2）D1C1A1B1lNMDCPAB（3）D1C1A1PB1NlDCMAB分析：①在侧面的射影显然与、垂直lMPMNMPlMNllMNP，面②显然分别与在底面上射影垂直及与垂直lMNMPlMNP面③如图，取棱A1A、DC、B1C1的中点，分别记为E、F、G...