解析关于映射的几类题型徐加生随着近几年高考的变知识立意为能力立意，而不再强调对知识点的履盖面，一些只需要“了解”的概念也常为高考和其他选拔性考试的题目。其中“映射”的概念就是如此。映射是指两个非空集合A，B之间的一种对应法则，即A中任何一个元素，在B中都在唯一的元素与之对应，其中集合B为象集合，集合A为原象集合。理解映射的概念要注意下面几个要点：①f：A→B有方向性；②A中每一个元素都在B中有唯一象；③A→B的对应中，只有“多对一”和“一对一”构成映射。为帮助同学们适应不同类型的考试，下面举例说明与映射有关的题目类型。一、理解象与原象型，这类题主要考查映射的方向性，属于容易题例1.（2000年全国高考题）设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B，把集合A中的元素n映射到B中的元素，则在映射下，象20的原象是（）A.2B.3C.4D.5分析：依题意有，得n=4，即选C。例2.设，定义α映射f：（x，y）→（），则A中（）的象是______________，B中元素（）的原象是________________。分析：求象即已知，则应填上（4，-2），求原象即由，则应填上（）。二、理解对应法则型，此类题主要考查集合A中的每一个元素是否能在B中找到它的唯一象，属于较容易题。例3.（1999年全国高考题），已知映射f：A→B，其中集合，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的在B中和a对应的元素是|a|则集合B中元素的个数是（）A.4B.5C.6D.7分析：由a→|a|易知，故应选（A）。例4.设集合集合，则从集合A到集合B的映射f只可能是（）A.B.C.D.分析：用排除法，对于（A）当x=2时，，对于（B）不满足唯一性，对于（D），时，y不存在，不符合存在性，故应选（C）。三、有约束条件的映射个数问题，这类题有一定的难度，常用到分类或分步的方法来解题，要重视审清约束条件。例5.设集合，从A到B的映射f中满足的映射的个数是（）用心爱心专心115号编辑A.3B.6C.12D.21分析：因为B中只有3个元素，所以题设中的4个不等号，至多有两个取不等号；没有不等号的映射（即只与B中同一个元素对应）f有个；有一个不等号的映射（即与B中两个元素对应）f有个；有两个不等号的映射（即与B中3个元素对应）f有个，所以共有3+12+6=21个符合要求的映射，故应选D。例6.设集合映射使对任意都有为奇数，这样的映射f的个数为（）A.122B.15C.50D.127分析：当时，为奇数，则－1有5个象，当x=0时，，只需f(x)为奇数，则0有2个象，当x=1时，为奇数，即1也有5个象，故符合条件的映射的个数为个，应选（C）。四、新定义下的映射个数问题，此类题是阅读理解和信息迁移题，重在对能力的考查，属于中档题，解题时常用到排列、组合等知识。例7.如果集合A中不同的元素在集合B中有不同的象，则称映射f：A→B为一个“单射”。已知集合，f是A到B的单射，则这样的单射f的个数是。分析：根据单射的定义知道，A中的每个元素对应着B中唯一的不同的象。即从B中5个元素中，选出4个元素与A中4个元素对应，即有个，应填120。例8.若集合B中任意一个元素在A中都有原象，则称映射f：A→B为一个“满射”，已知集合A中含有4个元素，集合B含有3个元素，则这样不同满射的个数是__________。分析：由题意知，A中必有两个元素与B中的一个元素对应，而A中的另两个元素与B中的另两个元素分别对应，因此，从A到B的满射个数为，即应填36。上述几类题是近几年来常见的，有些题尽管是属同一类的，但由于给出的条件不同，解法也是各种各样的，这里不能一一尽述，总之解题的大方向是可以确定的，如果能将上述几类题搞清楚，我想，所有与映射有关题目就不难对付了。用心爱心专心115号编辑
