2006—2007学年度第二学期高一数学同步检测第五章平面向量三、解斜三角形知识网络范题精讲【例1】在△ABC中,最大角A为最小角C的2倍,且三边a、b、c为三个连续整数,求a、b、c的值.解:依题意,A>B>C,故有a>b>c,设a=n+1,b=n,c=n-1,由正弦定理,=,即,∴.①由余弦定理,.②由①②两式联立,消去cosC,得.∴n=5.∴a=6,b=5,c=4.【例2】如图,半圆O的直径MN=2,OA=2,B为半圆上任意一点,以AB为一边作正三角形ABC,问B在什么位置时,四边形OACB面积最大?最大面积是多少?解:设∠AOB=θ,由余弦定理知AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cosθ=5-4cosθ,∴S△ABC=cosθ,S△AOB==sinθ,∴S四边形OACB=用心爱心专心.当θ=时,S四边形OACB最大,最大值为.【例3】在△ABC中,2B=A+C,且tanAtanC=2+,求(1)A、B、C的大小;(2)若AB边上的高CD=4,求三边a、b、c.解:(1) 2B=A+C,A+B+C=180°,∴B=60°,A+C=120°.又tanAtanC=2+,∴tan(A+C)=.∴tanA+tanC=3+.与tanAtanC=2+联立得或∴A=45°,B=60°,C=75°或A=75°,B=60°,C=45°.(2)若A=45°,B=60°,C=75°,则由正弦定理知,a=BC==8,b=AC==4,c=AD+DB=4+4.若A=75°,B=60°,C=45°,则a=BC==8,b=AC==-4+12,c=AD+DB=acosB+bcosA=8(-1).试题详解2006—2007学年度第二学期高一数学同步检测(十三)平面向量(三)(A卷)说明:试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分,考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.在△ABC中,一定成立的是()A.asinA=bsinBB.acosA=bcosBC.asinB=bsinAD.acosB=bcosA解析:由,得asinB=bsinA.答案:C2.在△ABC中,有命题:①-=;②++=0;③若(+)·(-)=0,则△ABC为等腰三角形;④若·>0,则△ABC为锐角三角形.上述命题正确的是()A.①②B.①④C.②③D.②③④解析:①-=,故①假;②++=+=0,故②真;③方法一:以、为邻边作平行四边形ABOC,则=+,=-,用心爱心专心若(+)·(-)=0,需对角线AO、BC互相垂直,故ABOC为菱形,所以△ABC必为等腰三角形,故③真;方法二:(+)·(-)=2-2=0.∴2=2.∴||=||,即在△ABC中,AB=AC.故△ABC为等腰三角形,故③真;④·=||||cosA>0,则A必为锐角,△ABC的形状不确定,故④假.答案:C3.在△ABC中,由已知条件解三角形,其中有两解的是()A.b=20,A=45°,C=80°B.a=14,b=16,A=45°C.a=30,c=28,B=60°D.a=12,c=15,A=120°解析:B中,由,∴B=arcsin或B=π-arcsin有两解.答案:B4.在△ABC中,,则∠A等于()A.30°B.45°C.60°D.90°解析:,有,又 sinB≠0,∴sinAcosB=sinCcosA-sinBcosA.∴sin(A+B)=sinCcosA,即sinC=sinCcosA.又 sinC≠0,∴cosA=.∴∠A=45°.答案:B5.已知△ABC的顶点A(2,3),重心G(2,-1),则BC边上的中点坐标为()A.(2,-3)B.(2,-9)C.(2,-5)D.(2,0)解析:由中点坐标公式和重心坐标公式可知选A.答案:A6.在△ABC中,若最大角的正弦值为,则△ABC必是()A.等边三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形解析:最大角必大于60°,否则与三角形内角和矛盾, sinα=,∴α=π.故选C.答案:C7.在△ABC中,下列三式:·>0,·>0,·>0中能够成立的个数为()A.至多1个B.有且仅有1个C.至多2个D.至少2个解析:·=||||cosA,·=||||cosB,·=||||cosC,因为三角形的内角中至少有两个锐角,所以,上述三式中至少有两个大于零.答案:D8.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为()用心爱心专心A.B.C.D.3解析:如图,BD为AC边上的高.方法一:cosB=,∴sinB=.S△ABC=AB·BC·sinB=AC·BD.∴3××=4BD.∴高BD=.方法二:cosA=.∴sinA=.∴BD=AB·sinA=.答案:B9.若△ABC的周长等于20,面积是10,A=60°,则BC边的长是()A.5B.6C.7D.8解析:依题意及面积公式S=bcsinA,得10=bc×sin60°,得bc=40.又周长为20,故a+b+c=20,b+c=20-a.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bccos60°=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,故a2=(20-a)2-1...