2006—2007学年度第二学期高一数学同步检测第五章平面向量三、解斜三角形知识网络范题精讲【例1】在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.解：依题意，A＞B＞C，故有a＞b＞c，设a=n+1，b=n，c=n－1，由正弦定理，=，即，∴.①由余弦定理，.②由①②两式联立，消去cosC,得.∴n=5.∴a=6，b=5，c=4.【例2】如图，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？解：设∠AOB=θ，由余弦定理知AB2=OA2＋OB2－2OA·OB·cosθ=5－4cosθ，∴S△ABC=cosθ，S△AOB==sinθ，∴S四边形OACB=用心爱心专心.当θ=时，S四边形OACB最大,最大值为.【例3】在△ABC中，2B=A＋C，且tanAtanC=2＋，求（1）A、B、C的大小；（2）若AB边上的高CD=4，求三边a、b、c.解：（1） 2B=A＋C，A＋B＋C=180°，∴B=60°，A+C=120°.又tanAtanC=2＋，∴tan（A＋C）=.∴tanA+tanC=3＋.与tanAtanC=2＋联立得或∴A=45°，B=60°，C=75°或A=75°，B=60°，C=45°.（2）若A=45°，B=60°，C=75°，则由正弦定理知，a=BC==8，b=AC==4，c=AD＋DB=4＋4.若A=75°，B=60°，C=45°，则a=BC==8，b=AC==-4＋12，c=AD＋DB=acosB＋bcosA=8（－1）.试题详解2006—2007学年度第二学期高一数学同步检测（十三）平面向量（三）（A卷）说明：试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.在△ABC中，一定成立的是（）A.asinA=bsinBB.acosA=bcosBC.asinB=bsinAD.acosB=bcosA解析：由，得asinB=bsinA.答案：C2.在△ABC中，有命题：①－=；②＋＋=0;③若（＋）·（－）=0，则△ABC为等腰三角形；④若·＞0，则△ABC为锐角三角形.上述命题正确的是（）A.①②B.①④C.②③D.②③④解析：①－=，故①假；②＋＋=＋=0，故②真；③方法一：以、为邻边作平行四边形ABOC，则=＋，=－，用心爱心专心若（＋）·（－）=0，需对角线AO、BC互相垂直，故ABOC为菱形，所以△ABC必为等腰三角形，故③真；方法二：（+）·（－）=2－2=0.∴2=2.∴||=||，即在△ABC中，AB=AC.故△ABC为等腰三角形，故③真；④·=||||cosA＞0,则A必为锐角，△ABC的形状不确定，故④假.答案：C3.在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）A.b=20，A=45°，C=80°B.a=14，b=16，A=45°C.a=30，c=28，B=60°D.a=12，c=15，A=120°解析：B中，由，∴B=arcsin或B=π－arcsin有两解.答案：B4.在△ABC中，，则∠A等于（）A.30°B.45°C.60°D.90°解析：，有，又 sinB≠0,∴sinAcosB=sinCcosA－sinBcosA.∴sin（A＋B）=sinCcosA，即sinC=sinCcosA.又 sinC≠0,∴cosA=.∴∠A=45°.答案：B5.已知△ABC的顶点A（2，3），重心G（2，－1），则BC边上的中点坐标为（）A.（2，－3）B.（2，－9）C.（2，－5）D.（2，0）解析：由中点坐标公式和重心坐标公式可知选A.答案：A6.在△ABC中，若最大角的正弦值为，则△ABC必是（）A.等边三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形解析：最大角必大于60°，否则与三角形内角和矛盾， sinα=，∴α=π.故选C.答案：C7.在△ABC中，下列三式：·＞0，·＞0，·＞0中能够成立的个数为（）A.至多1个B.有且仅有1个C.至多2个D.至少2个解析：·=||||cosA，·=||||cosB，·=||||cosC，因为三角形的内角中至少有两个锐角，所以，上述三式中至少有两个大于零.答案：D8.在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为（）用心爱心专心A.B.C.D.3解析：如图，BD为AC边上的高.方法一：cosB=，∴sinB=.S△ABC=AB·BC·sinB=AC·BD.∴3××=4BD.∴高BD=.方法二：cosA=.∴sinA=.∴BD=AB·sinA=.答案：B9.若△ABC的周长等于20，面积是10，A=60°，则BC边的长是（）A.5B.6C.7D.8解析：依题意及面积公式S=bcsinA，得10=bc×sin60°，得bc=40.又周长为20，故a＋b＋c=20，b＋c=20－a.由余弦定理，得a2=b2＋c2－2bccosA=b2＋c2－2bccos60°=b2＋c2－bc=（b＋c）2－3bc，故a2=（20－a）2－1...
