向量的数量积及向量的简单运用一、知识归纳（1）．向量的夹角：已知两个非零向量与，作=,=,则∠AOB=（）叫做向量与的夹角，可记为，时，同向；时，反向；时，记。（2）．两个向量的数量积：①已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=其中︱︱cos称为向量在方向上的投影．②=（）,=（）·=____________________;cos=_____________________;︱︱=⊥·=0___________（，为非零向量）(3)．向量的数量积的运算律：·=·;()·=(·)=·();(＋)·=·+·．二、学习要点1、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的充要条件。2、培养学生的化归思想、数形结合思想和分析问题、解决问题的能力。三、例题分析例1．已知，试求和的值.例2．已知，根据下列情况求：（1）（2）例3．已知是两个非零向量，且的夹角.例4．已知与之间有关系式（1）用表示；（2）求的最小值，并求此时与的夹角的大小.四、练习：一、选择题1．，则与的夹角是（）A.B.C.D.2．已知下列各式：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3．设是任意的非零向量，且相互不共线，则（1）=0；（2）不与垂直；（3）；（4）中，是真命题的是（）A.（1）（2）B.（2）（3）C.（3）（4）D.（2）（4）4、已知与的夹角是，则等于()A.B.C.D.5、若，且，则向量与的夹角为()（A）30°（B）60°（C）120°（D）150°6、已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则（）(A)⊥(B)⊥(－)(C)⊥(－)(D)(＋)⊥(－)7、已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（）.A．B．C．D．48、已知平面上直线l的方向向量点和在l上的射影分别是O′和A′，则，其中=（）.A．B．C．2D．－2二、填空题11、已知平面上三点A、B、C满足，则的值等于.12、设为内一点，，则是的_______心。13、已知如果与的夹角是钝角，则的取值范围是________________。14、已知（1）若，则（2）若，则15、已知的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为______三、解答题16．已知不共线的三向量两两所成的角相等，并且，试求向量的长度以及与已知三向量的夹角。17．设与是两个互相垂直的单位向量，是否存在整数，使向量与向量的夹角为，证明你的结论。18.△ABC中，分别是角A、B、C的对边，（1）求B的大小；（2）若=，求的最大值.19．已知平面向量（1）证明：；（2）若存在不同时为零的实数和，使，且，试求函数关系式；（3）根据（2）的结论，确定函数的单调区间。20.(Ⅰ)求与的关系式；（Ⅱ）若，求、的值及四边形ABCD的面积.向量的数量积及向量的简单运用参考答案例题分析：例1、＝（－8，－12），＝（－16，－8）例2、（1）（2）－2或例3、（利用向量的几何意义）例4、（1）（2）最小值为，提示：练习：一、选择题1—10、BBCCCCCDDB11、-2512、垂心13、或且14．15、且；16、；，，17、不可能解：若存在这样的整数使得两向量的夹角为则整理得，，解得：因为方程没有整数根，所以不可能存在这样的整数使向量与向量的夹角为18、（1）提示：由与求解（2）19、（1）（2）即由1）可知且（3）递增区间、（－，递减区间（－1,0）、（0，1）20、解：
