哈五中高三数学第二轮复习专题讲座(教师版)直线、平面、简单几何体第一课时热点题型探究题型一多面体中平行与垂直的证明【典例1】(2004年天津高考)如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.（1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小.解析：本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直,二面角等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力,满分12分.方法一：（1）证明：连结AC,AC交BD于O,连结EO. 底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点在中,EO是中位线,∴PA//EO而平面EDB且平面EDB,所以,PA//平面EDB（2）证明： PD⊥底面ABCD且底面ABCD,∴ PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,∴.①同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC. 底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC.而平面PDC,∴.②由①和②推得平面PBC.而平面PBC,∴又且,所以PB⊥平面EFD.（3）解：由（2）知,,故是二面角C—PB—D的平面角.由（2）知,.设正方形ABCD的边长为a,则,.在中,.第1页共31页在中,,∴.所以,二面角C—PB—D的大小为.方法二：如图所示建立空间直角坐标系,D为坐标原点,设.（1）证明：连结AC,AC交BD于G,连结EG.依题意得. 底面ABCD是正方形,∴G是此正方形的中心,故点G的坐标为且.∴,这表明PA//EG.而平面EDB且平面EDB,∴PA//平面EDB.（2）证明:依题意得,.又,故.∴.由已知,且,所以平面EFD.（3）解：设点F的坐标为,,则.从而.所以.由条件知,,即,解得∴点F的坐标为,且,∴即,故是二面角C—PB—D的平面角. ,且第2页共31页,,∴.∴.所以,二面角C—PB—D的大小为.拓展提升：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从9(A)证法中都能十分明显地体现出来【变式训练】1新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆（(2006年湖南卷）如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.解法一（Ⅰ）连结AC、BD，设.由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.（Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD.故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，1），A（，0，0），Q（0，0，－2），B（0，，0）.所以，于是.从而异面直线AQ与PB所成的角是.(Ⅲ)由（Ⅱ），点D的坐标是（0，－，0），，，设是平面QAD的一个法向量，由第3页共31页QBCPADzyxOQPADCB图4得.取x=1，得.所以点P到平面QAD的距离.解法二（Ⅰ）取AD的中点，连结PM，QM.因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以AD⊥PM，AD⊥QM.从而AD⊥平面PQM.又平面PQM，所以PQ⊥AD.同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.（Ⅱ）连结AC、BD设，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面.因为OA＝OC，OP＝OQ，所以PAQC为平行四边形，AQ∥PC.从而∠BPC（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角.因为，所以.从而异面直线AQ与PB所成的角是.(Ⅲ)连结OM，则.所以∠PMQ＝90°，即PM⊥MQ.由（Ⅰ）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD.从而PM的长是点P到平面QAD的距离.在直角△PMO中，.即点P到平面QAD的距离是.2.(2007全国Ⅰ·文)四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知，，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．解法一：（1）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．因为，所以，又，故为等腰直角三角形，，由三垂线定理，得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，第4页共31页QBCPADOMDBCASOE故，由，，．又，作，垂足为，则平面，连结．为直线与平面所成的角．所以，直线与平面所成的角为．解法二：（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面...
