三角函数的积化和差与和差化积第三章章末总结一.本周教学内容：3.3三角函数的积化和差与和差化积第三章“三角恒等变换”章末总结［教学目的］1.了解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程，了解此组公式与两角和差的正弦、余弦公式的联系，从而培养逻辑推理能力。2.掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明。3.对第三章“三角恒等变换”进行章末知识总结，对重点、热点题型进行归纳总结。二.重点、难点：1.掌握三角函数的积化和差与和差化积公式，能正确运用此公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明。2.对第三章“三角恒等变换”的重点、热点题型的总结归纳。［知识分析］（一）三角函数的积化和差与和差化积公式及应用1.公式的推导，得即公式<1><2><3><4>叫做积化和差公式。其特点为：同名函数之积化为两角和与差余弦的和（差）的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和（差）的一半，等式左边为单角α、β，等式右边为它们的和差角。在积化和差的公式中，如果“从右往左”看，实质上就是和差化积。为了用起来方便，在积化和差的公式中，如果令，则。把这些值代入积化和差的公式<1>中，就有同样可得，公式<5><6><7><8>叫做和差化积公式。其特点为：同名函数的和或差才可化积；余弦的和或差化为同名函数之积；正弦的和或差化为异名函数之积；等式左边为单角θ与，等式右边为与的形式。牢记两组公式的区别与联系，才能正确使用之。2.明确公式是由两角和与差的三角函数公式推导而得，进一步明确三角函数中公式虽然多，但都不是孤立的，另外，弄清公式的来源以及公式的内在联系，才能更好地记忆和使用它们。3.典例分析例1.把下列各式化为和差的形式。（1）（2）（3）分析：利用积化和差公式。解：（1）法1：法2：（2）（3）法1：法2：点评：（1）牢记积化和差公式，才能正确使用。（2）如求的值，可不用积化和差公式，用二倍角公式即可求值，即例2.把下列各式化成积的形式。（1）（2）分析：只要将以上两题稍作变形，如将（1）中换成，（2）中cosx看作即可直接应用公式进行化积。解：（1）（2）法1：法2：点评：（1）只有同名函数的和（或差）才能化为积的形式，因此题（1）中化为，（2）中化为。（2）对于型如，可化为也能达到和差化积的形式之目的。例3.求值：（1）（2）分析：（1）中注意7°与15°和8°的关系；（2）中最常见的想法是降幂扩角及积化和差的应用，但对偶式的应用可能使问题变得更简单。解：（1）（2）法1：法2：设则继续考察于是，所以即点评：三角函数变换的灵活性更多地体现在拆角的灵活性上，题（1）对这一点展现地淋漓尽致；（2）中法1属常规方法，只要有扎实的基本功就可以正确完成，而法2很巧妙的运用了对偶式使解答变得简单且浪漫。这种方法也可以求型如的求值题，试一下是不是很巧妙？（二）章末总结1.本章网络结构2.要点概述（1）求值常用的方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等。（2）要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如是的半角，是的倍角等。（3）要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。（4）求值的类型：①“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。②“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系。③“给值求角”：实质上可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。（5）灵活运用角和公式的变形，如：，等，另外重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论。（6）化简三角函数式常有两种思路：一是角的变换（即将多种形式的角尽量统一），二是三角函数名称的...
