第一部分专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量专题强化精练提能理1．向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1D．2解析：选C.法一：因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，所以a2＝2，a·b＝－3，从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.法二：因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，所以2a＋b＝(2，－2)＋(－1，2)＝(1，0)，从而(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1，故选C.2．已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2AC＋CB＝0，则向量OC等于()A.OA－OBB．－OA＋OBC．2OA－OBD．－OA＋2OB解析：选C.因为AC＝OC－OA，CB＝OB－OC，所以2AC＋CB＝2(OC－OA)＋(OB－OC)＝OC－2OA＋OB＝0，所以OC＝2OA－OB，故选C.3．在△ABC中，D是AB的中点，E是AC的中点，CD与BE交于点F，设AB＝a，AC＝b，AF＝xa＋yb，则(x，y)为()A.B.C.D.解析：选C.由题意知点F为△ABC的重心，设H为BC中点，则AF＝AH＝×(AB＋AC)＝a＋b，所以x＝，y＝.4．在△ABC中，AB＝，BC＝2，∠A＝，如果不等式|BA－tBC|≥|AC|恒成立，则实数t的取值范围是()A．[1，＋∞)B.C.∪[1，＋∞)D．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选C.在直角三角形ABC中，易知AC＝1，cos∠ABC＝，由|BA－tBC|≥|AC|，得BA2－2tBA·BC＋t2BC2≥AC2，即2t2－3t＋1≥0，解得t≥1或t≤.5．(2015·河北省五校联盟质量监测)已知|OA|＝1，|OB|＝，OA·OB＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则等于()A.B．3C.D.解析：选B.由题设知：cos〈OC，OA〉＝，所以＝⇒＝⇒＝.因为|OA|＝1，|OB|＝，OA·OB＝0，所以＝⇒m2＝9n2⇒＝9，又因为点C在∠AOB内，所以m＞0，n＞0，所以＝3，故选B.6．(2015·聊城市第一次质量预测)在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则CM·CN的取值范围为()A.B．[2，4]C．[3，6]D．[4，6]解析：选D.记MN的中点为E，则有CM＋CN＝2CE，CM·CN＝[(CM＋CN)2－(CM－CN)2]＝CE2－NM2＝CE2－.又|CE|的最小值等于点C到AB的距离，即，故CM·CN的最小值为－＝4.当点M与点A(或B)重合时，|CE|达到最大，|CE|的最大值为＝，因此CM·CN的取值范围是[4，6]，选D.7．(2014·高考北京卷)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.解析：因为λa＋b＝0，所以λa＝－b，所以|λa|＝|－b|＝|b|＝＝，所以|λ|·|a|＝.又|a|＝1，所以|λ|＝.答案：8．已知圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若AB＋AC＝2AO，且|OA|＝|AC|，则向量BA在向量BC方向上的投影为________．解析：因为AB＋AC＝2AO，所以O是BC的中点，故△ABC为直角三角形．在△AOC中，有|OA|＝|AC|，所以∠B＝30°.由定义，向量BA在向量BC方向上的投影为|BA|cosB＝2×＝3.答案：39.(2014·高考江苏卷)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是________．解析：由CP＝3PD，得DP＝DC＝AB，AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝AP－AB＝AD＋AB－AB＝AD－AB.因为AP·BP＝2，所以·＝2，即AD2－AD·AB－AB2＝2.又因为AD2＝25，AB2＝64，所以AB·AD＝22.答案：2210．设非零向量a，b的夹角为θ，记f(a，b)＝acosθ－bsinθ.若e1，e2均为单位向量，且e1·e2＝，则向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为________．解析：由e1·e2＝，可得cos〈e1，e2〉＝＝，故〈e1，e2〉＝，〈e2，－e1〉＝π－〈e2，e1〉＝.f(e1，e2)＝e1cos－e2sin＝e1－e2，f(e2，－e1)＝e2cos－(－e1)sin＝e1－e2.f(e1，e2)·f(e2，－e1)＝·＝－e1·e2＝0，所以f(e1，e2)⊥f(e2，－e1)．故向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为.答案：11.如图，在平面四边形ABCD中，AB＝13，AC＝10，AD＝5，cos∠DAC＝，AB·AC＝120.(1)求cos∠BAD；(2)设AC＝xAB＋yAD，求x，y的值．解：(1)设∠CAB＝α，∠CAD＝β，cosα＝＝＝，cosβ＝，所以sinα＝，sinβ＝，所以cos∠BAD＝cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.(2)由AC＝xAB＋yAD得所以解得12．(2015·山师附中质检)已知向量m＝(cosA，－sinA)，n＝(cosB，sinB)，m·n＝cos2C，其中A，B，C为△ABC的内角．(1)求角C的大小；(2)若AB＝6，且CA·CB＝18，求AC，BC的长．解：(1)m·n＝cosAcosB...
