专题突破练18立体几何中的翻折问题及探索性问题1.(2020河北石家庄5月检测,18)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AC=4,D,E分别是AC,AB边上的中点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C=A1D,如图2.(1)求证:平面A1CD⊥平面A1BC;(2)求直线A1C与平面A1BE所成角的正弦值.2.(2020贵州贵阳适应性训练,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,且平面PAD⊥平面ABCD,F为棱PD的中点.(1)在棱BC上是否存在一点E,使得CF∥平面PAE?并说明理由;(2)若PA=PD=AB,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值.3.(2020浙江台州模拟,19)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=3,AA1=2.以AB,BC为邻边作平行四边形ABCD,连接DA1和DC1.(1)求证:A1D∥平面BCC1B1;(2)在线段BC上是否存在点F,使平面DA1C1与平面A1C1F垂直?若存在,求出BF的长;若不存在,请说明理由.4.(2020云南昆明一中模拟,19)图1是由边长为4的正六边形AEFBCD,矩形DCGH组成的一个平面图形,将其沿AB,DC折起得几何体ABCD-EFGH,使得CG⊥AD,且平面EFGH∥平面ABCD,如图2.(1)证明:在图2中,平面ACG⊥平面BCG;(2)设M为图2中线段CG上一点,且CM=1,若直线AG∥平面BMD,求图2中的直线BM与平面AHB所成角的正弦值.5.(2020北京通州一模,18)如图1,已知四边形ABCD为菱形,且∠A=60°,取AD中点为E.现将四边形EBCD沿BE折起至EBHG,使得∠AEG=90°,如图2.(1)求证:AE⊥平面EBHG;(2)求二面角A-GH-B的余弦值;(3)若点F满足⃗AF=λ⃗AB,当EF∥平面AGH时,求λ的值.6.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是梯形,且BC∥AD,AC=CD=❑√22AD,AD=2PD=4BC=4.(1)求证:AC⊥平面PCD;(2)求平面PCD与平面PAB所成的锐角的余弦值;(3)在棱PD上是否存在点M,使得CM∥平面PAB?若存在,求PMPD的值;若不存在,说明理由.7.(2020山东省实验中学模拟,19)在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,点E是线段CD上靠近点D的一个三等分点,点F是线段AD上的一个动点,且⃗DF=λ⃗DA(0≤λ≤1).如图,将△BEC沿BE折起至△BEG,使得平面BEG⊥平面ABED.(1)当λ=12时,求证:EF⊥BG;(2)是否存在λ,使得FG与平面DEG所成的角的正弦值为13?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.8.(2020河北衡水中学调研,18)已知,图中直棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,其中AA1=AC=2BD=4.又点E,F,P,Q分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上运动,且满足BF=DQ,CP-BF=DQ-AE=1.(1)求证:E,F,P,Q四点共面,并证明EF∥平面PQB;(2)是否存在点P使得二面角B-PQ-E的余弦值为❑√55?如果存在,求出CP的长;如果不存在,请说明理由.专题突破练18立体几何中的翻折问题及探索性问题1.(1)证明在图1的△ABC中,D,E分别为AC,AB边中点,∴DE∥BC.又AC⊥BC,∴DE⊥AC.在图2中,DE⊥A1D,DE⊥DC,A1D∩DC=D,则DE⊥平面A1CD,又DE∥BC,∴BC⊥平面A1CD.又BC⊂平面A1BC,∴平面A1CD⊥平面A1BC.(2)解由(1)知DE⊥平面A1CD,且DE⊂平面BCDE,∴平面A1CD⊥平面BCDE.又平面A1CD∩平面BCDE=DC,在等边三角形A1CD中过点A1作A1O⊥CD,垂足为O,则O为CD中点,且A1O⊥平面BCDE,分别以DC,梯形BCDE中位线,OA1所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,❑√3),B(1,4,0),C(1,0,0),E(-1,2,0).⃗A1C=(1,0,-❑√3),⃗EA1=(1,-2,❑√3),⃗EB=(2,2,0).设平面A1BE的法向量为n=(x1,y1,z1),则{⃗EA1·n=x1-2y1+❑√3z1=0,⃗EB·n=2x1+2y1=0,令x1=1,则y1=-1,z1=-❑√3,∴平面A1BE的一个法向量为n=(1,-1,-❑√3).设直线A1C与平面A1BE所成角为θ,则sinθ=|cos<⃗A1C,n>|=|⃗A1C·n||⃗A1C|·|n|=|1×1-1×0+(-❑√3)×(-❑√3)|❑√1+3×❑√1+1+3=2❑√55.∴直线A1C与平面A1BE所成角的正弦值为2❑√55.2.解(1)当E为BC的中点时,CF∥平面PAE.理由如下,如图,分别取BC,PA的中点E,G,连接PE,AE,GE,FG.又F是PD的中点,∴FG∥AD,FG=12AD.又四边形ABCD为正方形,则AD∥BC,AD=BC,∴FG∥BC,FG=12BC.又E是BC的中点,∴FG∥CE,FG=CE,则四边形ECFG是平行四边形,∴CF∥EG.又EG⊂平面PAE,CF⊄平面PAE,∴CF∥平面PAE.(2)如图,取AD中点O,连接PO,OE,又PA=PD,∴PO⊥AD. 平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,∴PO⊥平面ABCD.∴以O为原点,OA,OE,OP分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AD=2,则A(1,0,0),B(1,2,...
