考点14导数的应用1．f(x)是定义域为R的函数，对任意实数x都有f(x)＝f(2－x)成立．若当x≠1时，不等式(x－1)·f′(x)＜0成立，若a＝f(0.5)，b＝f，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是()A．b＞a＞cB．a＞b＞cC．c＞b＞aD．a＞c＞b【答案】A【解析】因为对任意实数x都有f(x)＝f(2－x)成立，所以函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，又因为当x≠1时，不等式(x－1)·f′(x)＜0成立，所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以f＞f(0.5)＝f＞f(3)，即b＞a＞c.2．已知函数f(x)＝sin(2x＋)，f′(x)是f(x)的导函数，则函数y＝2f(x)＋f′(x)的一个单调递减区间是()A．[，]B．[－，]C．[－，]D．[－，]【答案】A3．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(－∞，－2)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)【答案】B【解析】当a＝0时，显然f(x)有两个零点，不符合题意．当a≠0时，f′(x)＝3ax2－6x，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.当a＞0时，＞0，所以函数f(x)＝ax3－3x2＋1在(－∞，0)与上为增函数，在上为减函数，因为f(x)存在唯一零点x0，且x0＞0，则f(0)＜0，即1＜0，不成立．当a＜0时，＜0，所以函数f(x)＝ax3－3x2＋1在和(0，＋∞)上为减函数，在上为增函数，因为f(x)存在唯一零点x0，且x0＞0，则f＞0，即a·－3·＋1＞0，解得a＞2或a＜－2，又因为a＜0，故a的取值范围为(－∞，－2)．选B.4．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数f′(x)满足xf′(x)＋f(x)＝，且f(e)＝，其中e为自然对数的底数，则不等式f(x)＋e＞x＋的解集是()A．(0，e)B．(0，)C．(，e)D．(e，＋∞)【答案】A5．已知函数f(x)＝x2＋2ax－lnx，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】由题意知f′(x)＝x＋2a－≥0在上恒成立，即2a≥－x＋在上恒成立， max＝，∴2a≥，即a≥.6．设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－2)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＞0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是．【答案】(－2,0)∪(2，＋∞)【解析】令g(x)＝，则g′(x)＝，∴当x＞0时，g′(x)＞0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递增， f(x)为奇函数，f(－2)＝0，∴f(2)＝0，∴g(2)＝＝0，结合奇函数f(x)的图像知，f(x)＞0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)，故填(－2,0)∪(2，＋∞)．7．设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(1)求b，c的值；(2)若a＞0，求函数f(x)的单调区间．【答案】(1)b=0c=1(2)(0，a)【解析】(1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得即(2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a＞0)，当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0；当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．8．已知函数f(x)＝exlnx－aex(a∈R)．(1)若f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋1垂直，求a的值；(2)若f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围．【答案】(1)a＝2(2)(－∞，1]则f′(x)≥0在x>0时恒成立，即－a＋lnx≥0在x>0时恒成立，所以a≤＋lnx在x>0时恒成立，由上述推理可知此时a≤1.故实数a的取值范围是(－∞，1]．9.设a>1,函数f(x)=(1+x2)ex-a.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)在区间(-∞,+∞)上仅有一个零点;(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明:m≤-1.【答案】(1)无单调递减区间(2)见解析(3)见解析∴a-=(1+m)2em≥(1+m)2(1+m)=(1+m)3,即1+m.故m-1.10．已知函数f(x)＝－x2－3x＋4lnx在(t，t＋1)上不单调，则实数t的取值范围是．【答案】(0,1)11．已知函数f(x)＝x2－(2t＋1)x＋tlnx(t∈R)．(1)若t＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程以及f(x)的极值；(2)设函数g(x)＝(1－t)x，若存在x0∈[1，e]，使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数t的最大值．【答案】(1)－2(2)【解析】(1)依题意，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当t＝1时，f(x)＝x2－3x＋lnx，f′(x)＝2x－3＋＝.由f′(1)＝0，f(1)＝－2，得曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－2.令f′(x)＝0，解得x＝或x＝1，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下：x...
