课时作业25平面向量的数量积一、选择题1．(2014·大纲全国卷)已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝()A．－1B．0C．1D．2解析：由已知得|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cos〈a，b〉－|b|2＝2×1×1×cos60°－12＝0，故选B.答案：B2．(2014·北京朝阳一模)已知AB和AC是平面内两个单位向量，它们的夹角为60°，则2AB－AC与CA的夹角是()A．30°B．60°C．90°D．120°解析：由题意知|AB|＝1，|AC|＝1，AB·AC＝|AB||AC|cos60°＝，因为(2AB－AC)·CA＝2AB·CA＋AC2＝2×＋1＝0，所以cos〈2AB－AC，CA〉＝＝0，故2AB－AC与CA的夹角是90°.答案：C3．(2014·江西七校一联)已知a＝(3，－2)，b＝(1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为()A．－B.C．－D.解析：向量λa＋b与a－2b垂直，则(λa＋b)·(a－2b)＝0，又因为a＝(3，－2)，b＝(1,0)，故(3λ＋1，－2λ)·(1，－2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－.答案：C4．(2014·东北三省二模)已知△ABC中，|BC|＝10，AB·AC＝－16，D为BC边的中点，则|AD|等于()A．6B．5C．4D．3解析：∵D为BC边的中点，∴AD＝(AB＋AC)．又∵|BC|＝10，且BC＝AC－AB，∴|AC－AB|＝10，即(AC－AB)2＝100，即|AC|2＋|AB|2－2AC·AB＝100.∵AC·AB＝－16，∴|AC|2＋|AB|2＝68，故(AC＋AB)2＝68－32＝36.∴|AB＋AC|＝6，即|AD|＝3.故选D.答案：D5．(2014·陕西宝鸡三模)已知平面向量a，b的夹角为120°，且a·b＝－1，则|a－b|的最小值为()A.B.C.D．1解析：由题意可知：－1＝a·b＝|a|·|b|cos120°，所以2＝|a|·|b|≤，即|a|2＋|b|12≥4，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝a2＋b2＋2≥4＋2＝6，所以|a－b|≥.选A.答案：A6．(2014·浙江卷)设θ为两个非零向量a，b的夹角．已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1.()A．若θ确定，则|a|唯一确定B．若θ确定，则|b|唯一确定C．若|a|确定，则θ唯一确定D．若|b|确定，则θ唯一确定解析：由于|b＋ta|2＝b2＋2a·bt＋a2t2，令f(t)＝a2t2＋2a·bt＋b2，而t是任意实数，所以可得f(t)的最小值为＝＝＝1，即|b|2sin2θ＝1，则知若θ确定，则|b|唯一确定．答案：B二、填空题7．(2014·重庆卷)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝__________.解析：因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝＝2，又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2××＝10.答案：108．(2014·四川卷)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝__________.解析：由已知可以得到c＝(m＋4,2m＋2)，且cos〈c，a〉＝cos〈c，b〉，所以＝，即＝，即＝，解得m＝2.答案：29．(2014·天津卷)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若AE·AF＝1，则λ的值为__________．解析：由题意可得AB·AD＝|AB|·|AD|cos120°＝2×2×＝－2，在菱形ABCD中，易知AB＝DC，AD＝BC，所以AE＝AB＋BE＝AB＋AD，AF＝AD＋DF＝AB＋AD，AE·AF＝·＝＋－2＝1，解得λ＝2.答案：2三、解答题10．(2014·江苏南通高三期末测试)设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中0＜β＜α＜π.(1)若a⊥b，求|a＋b|的值；(2)设向量c＝(0，)，且a＋b＝c，求α，β的值．解析：(1)因为a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，所以|a|＝1，|b|＝1.因为a⊥b，所以a·b＝0.于是|a＋b|2＝a2＋3b2＋2a·b＝4，故|a＋b|＝2.(2)因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0，)，所以由①式得cosα＝cos(π－β)，由0＜β＜π，2得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β.代入②式，得sinα＝sinβ＝.而0＜β＜α＜π，所以α＝，β＝.11．(2014·佛山质检)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.解析：(1)因为a与b－2c垂直，所以a·(b－2c)＝4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此tan(α＋β)＝2.(2)由b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，得|b＋c|＝＝≤4.又当β＝－时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为4.(3)由tanαtanβ＝16得＝，所以a∥b.12．(2014·广东揭阳一中摸底)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(－cosx，cosx)，c＝(－1,0)．(1)若x＝，求向量a，c的夹角；(2)当x∈时，求函数f(x)＝2a·b＋1的最大值．解析：(1)∵a＝(cosx，sinx)，c＝(－1,0)，∴|a|＝＝1，|c|＝＝1.当x＝时，a＝＝，a·c＝×(－1)＋×0＝－，cos〈a，c〉＝＝－.∵0≤〈a，c〉≤π，∴〈a，c〉＝.(2)f(x)＝2a·b＋1＝2(－cos2x＋sinxcosx)＋1＝2sinxcosx－(2cos2x－1)＝sin2x－cos2x＝sin.∵x∈，∴2x－∈，故sin∈，∴当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝1.3
