第三讲导数的简单应用1.已知函数f(x)=xsinx+ax,且f'(π2)=1,则a=()A.0B.1C.2D.42.(2018河北石家庄模拟)已知f(x)=lnxx,其中e为自然对数的底数,则()A.f(2)>f(e)>f(3)B.f(3)>f(e)>f(2)C.f(e)>f(2)>f(3)D.f(e)>f(3)>f(2)3.(2018安徽合肥质量检测)已知直线2x-y+1=0与曲线y=aex+x相切,其中e为自然对数的底数,则实数a的值是()A.eB.2eC.1D.24.(2018辽宁沈阳质量检测)设函数f(x)=xex+1,则()A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(-3)=f(5)=1,f'(x)为f(x)的导函数,且导函数y=f'(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<1的解集是()A.(-3,0)B.(-3,5)C.(0,5)D.(-∞,-3)∪(5,+∞)6.(2018江西南昌模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,设函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意x>0都有2f(x)+xf'(x)>0成立,则()A.4f(-2)<9f(3)B.4f(-2)>9f(3)C.2f(3)>3f(-2)D.3f(-3)<2f(-2)7.(2018河北“五个一名校联盟”模拟)函数f(x)=x2-2lnx的单调递减区间是.8.(2018广西桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考)直线x=a(a>0)分别与曲线y=2x+1,y=x+lnx交于A,B两点,则|AB|的最小值为.9.已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2+mx(m∈R),若函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与函数g(x)的图象相切,则m的值为.10.已知函数f(x)=x3-2x+ex-1ex,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是.11.已知函数f(x)=excosx-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值.12.(2018江西南昌模拟)设函数f(x)=2lnx-mx2+1.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当f(x)有极值时,若存在x0,使得f(x0)>m-1成立,求实数m的取值范围.答案精解精析1.A f'(x)=sinx+xcosx+a,且f'(π2)=1,∴sinπ2+π2cosπ2+a=1,即a=0.2.D f(x)=lnxx,∴f'(x)=1-lnxx2.令f'(x)=0,解得x=e.当x∈(0,e)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,故f(x)在x=e处取得最大值f(e). f(2)-f(3)=ln22-ln33=3ln2-2ln36=ln8-ln96<0,∴f(2)f(3)>f(2).故选D.3.C y=aex+x,∴y'=aex+1.设直线2x-y+1=0与曲线y=aex+x相切的切点坐标为(m,n),则y'|x=m=aem+1=2,得aem=1.又n=aem+m=2m+1,∴m=0,n=1,∴a=1.故选C.4.D由题意得f'(x)=(x+1)ex,令f'(x)=0,得x=-1.当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0;当x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,所以x=-1为f(x)的极小值点.故选D.5.B由题图可知,当x>0时,f'(x)>0,f(x)是增函数;当x<0时,f'(x)<0,f(x)是减函数.又f(-3)=f(5)=1,因此不等式f(x)<1的解集是(-3,5).故选B.6.A根据题意,令g(x)=x2f(x),则g'(x)=2xf(x)+x2f'(x).又对任意x>0都有2f(x)+xf'(x)>0成立,则当x>0时,有g'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]>0恒成立,即函数g(x)在(0,+∞)上为增函数.又由函数f(x)是定义在R上的偶函数,则f(-x)=f(x),则有g(-x)=(-x)2f(-x)=x2f(x)=g(x),即函数g(x)也为偶函数,则有g(-2)=g(2),且g(2)
