专题17直线方程一、基础过关题1．(2016·威海模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小π4的直线方程是()A．x＝2B．y＝1C．x＝1D．y＝2【答案】A2．已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是()A．k≥34或k≤－4B．－4≤k≤34C.34≤k≤4D．－34≤k≤4【答案】A【解析】如图所示， kPN＝1－(－21－(－3)＝34，kPM＝1－(－31－2＝－4.∴要使直线l与线段MN相交，当l的倾斜角小于90°时，k≥kPN；当l的倾斜角大于90°时，k≤kPM，由已知得k≥34或k≤－4.3．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是．【答案】3【解析】直线AB的方程为x3＋y4＝1， 动点P(x，y)在直线AB上，则x＝3－34y，∴xy＝3y－34y2＝34(－y2＋4y)＝34[－(y－2)2＋4]≤3.即当P点坐标为3，2时，xy取最大值3.4．(2016·潍坊模拟)直线l过点(－2,2)且与x轴，y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，则直线l的方程为．【答案】x＋y＝0或x－y＋4＝05．(2016·山师大附中模拟)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则1m＋1n的最小值为．【答案】4【解析】 函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)．∴把A(1,1)代入直线方程得m＋n＝1(mn>0)．∴1m＋1n＝(1m＋1n)·(m＋n)＝2＋nm＋mn≥4(当且仅当m＝n＝12时取等号)，∴1m＋1n的最小值为4.6．(2017·兰州月考)一只虫子从点O(0,0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是()A.B．2C．3D．4【答案】B【解析】点O(0,0)关于直线x－y＋1＝0的对称点为O′(－1,1)，则虫子爬行的最短路程为|O′A|＝＝2.故选B.7．(2016·绵阳模拟)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为()A.95B.185C.2910D.295【答案】C【解析】因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ|的最小值为2910，故选C.8．(2016·忻州训练)已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a＋b＝________.【答案】0或839．(2016·重庆模拟)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．【答案】(2,4)【解析】如图，设平面直角坐标系中任一点P，P到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和为|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|PB|＋|PD|＋|PA|＋|PC|≥|BD|＋|AC|＝|QA|＋|QB|＋|QC|＋|QD|，故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点． A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)，∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，直线BD的方程为y－5＝－(x－1)．由y－2＝2(x－1y－5＝－(x－1)，得Q(2,4)．10．(2016·北京朝阳区模拟)已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．【答案】6x－5y－9＝0.11．(2016·太原模拟)已知两点A(－1,2)，B(m,3)．(1)求直线AB的方程；(2)已知实数m∈[－33－1，－1]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．【答案】(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，当m≠－1时，直线AB的方程为x－(m＋1)y＋2m＋3＝0.(2)直线AB的倾斜角α∈[π6，2π3]．【解析】(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝1m＋1(x＋1)．即x－(m＋1)y＋2m＋3＝0.(2)①当m＝－1时，α＝π2；②当m≠－1时，m＋1∈[－33，0)∪(0，]，∴k＝1m＋1∈(－∞，－]∪[33，＋∞)，∴α∈[π6，π2)∪(π2，2π3]．综合①②知，直线AB的倾斜角α∈[π6，2π3]．12．已知点P(2，－1)．(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.(2)直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为.(3)不存在过点P且到原点的距离为6的直...
