高中数学探究性试题汇编课堂教学改革的目的，一是要打破传统教学束缚学生手脚的陈旧做法；二是要遵循现代教育以人为本的的观念，给学生发展以最大的空间；三是能根据教材提供的基本知识，把培养学生创新精神和实践能力作为教学的重点。数学探究性学习是以学生探究为基本牲的一种教学活动形式。具体是指在教师的启发诱导下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以学生已有知识经验和生活经验为基础，以现行教材为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的一种教学活动形式。它可使学生学会学习和掌握科学方法，为学生终身学习和发展奠定基础。探究性试题有助于数学思维的提高。1．已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立。（Ⅰ）函数是否属于集合？说明理由；（Ⅱ）设函数，求的取值范围；（Ⅲ）设函数图象与函数的图象有交点，证明：函数。解：（Ⅰ）若，在定义域内存在，则， 方程无解，∴。（Ⅱ），时，；时，由，得。∴。（Ⅲ） ，又 函数图象与函数的图象有交点，设交点的横坐标为，则，其中。∴，即。2．已知是定义在上的恒不为零的函数，且对于任意的、都满足：（1）求的值，并证明对任意的，都有；（2）设当时，都有，证明在上是减函数；（3）在（2）的条件下，求集合中的最大元素和最小元素。解：（1）（2） 当时，都有…………6分∴当，即时，有，1即∴在上是减函数。（3） 在上是减函数，{}是递增数列∴数列是递减数列。∴集合中的最大元素为，最小元素为。3．已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足，（1）求数列的通项公式；（2）通过构造一个新的数列，是否存在一个非零常数，使也为等差数列；（3）求的最大值。解：（1） 等差数列中，公差，∴。（2），，令，即得，数列为等差数列，∴存在一个非零常数，使也为等差数列。（3）， ，即，∴时，有最大值。4．已知数列中，且点在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）若函数求函数的最小值；（3）设表示数列的前项和。试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。25．设函数，函数，其中为常数且，令函数为函数和的积函数。（1）求函数的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数的值域；（3）是否存在自然数，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由。解：（1），。（2） ，∴函数的定义域为，令，则，，∴， 时，，又时，递减，∴单调递增，∴，即函数的值域为。（3）假设存在这样的自然数满足条件，令，则， ，则，要满足值域为，则要满足，由于当且仅当时，有中的等号成立，且此时恰为最大值，∴，3又在上是增函数，在上是减函数，∴，综上，得。6、已知二次函数同时满足：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立。设数列的前项和，（1）求数列的通项公式；（2）试构造一个数列，（写出的一个通项公式）满足：对任意的正整数都有，且，并说明理由；（3）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数。令（为正整数），求数列的变号数。解：（1） 的解集有且只有一个元素，∴，当时，函数在上递增，故不存在，使得不等式成立。当时，函数在上递减，故存在，使得不等式成立。综上，得，，∴，∴（2）要使，可构造数列， 对任意的正整数都有，∴当时，恒成立，即恒成立，即，又，∴，∴，等等。（3）解法一：由题设， 时，，∴时，数列递增， ，由，可知，即时，有且只有个变号数；又 ，即，∴此处变号数有个。综上得数列共有个变号数，即变号数为。解法二：由题设，时，令；又 ，∴时也有。4综上得数列共有个变号数，即变号数为。7．已知复数，（1）当时，求的取值范围；（2）是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。解：（1） ，∴。（2）（理） ，∴为纯虚数，∴8．已知为正常数。（1）可以证明：定理“若、，则（当且仅当时...
