【创新设计】（山东专用）2017版高考数学一轮复习考点强化课二习题理新人教A版(建议用时：45分钟)一、选择题1.(2016·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＝2bcosC”是“△ABC是等腰三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析依题意，由a＝2bcosC及正弦定理，得sinA＝2sinBcosC，sin(B＋C)－2sinBcosC＝sinBcosC＋cosBsinC－2sinBcosC＝sin(C－B)＝0，C＝B，△ABC是等腰三角形；反过来，由△ABC是等腰三角形不能得知C＝B，a＝2bcosC.因此，“a＝2bcosC”是“△ABC是等腰三角形”的充分不必要条件，故选A.答案A2.(2015·郑州质量预测)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sinB＋sinC)＝(a－c)sinA，则角B的大小为()A.30°B.45°C.60°D.120°解析由正弦定理可知(b－c)(b＋c)＝(a－c)a，∴b2－c2＝a2－ac，即a2＋c2－b2＝ac. cosB＝＝＝，∴B＝30°.答案A3.(2015·太原二模)在△ABC中，cosA＝，cosB＝，BC＝4，则AB＝()A.5B.4C.3D.2解析 cosA＝，cosB＝，∴sinA＝，sinB＝，∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝0，∴A＋B＝C＝，∴AB＝＝5.故选A.答案A4.(2016·乌鲁木齐诊断)在△ABC中，AC·cosA＝3BC·cosB，且cosC＝，则A＝()A.30°B.45°C.60°D.120°解析由题意及正弦定理，得sinBcosA＝3sinAcosB，∴tanB＝3tanA，∴0°＜A，B＜90°，又cosC＝，故sinC＝，∴tanC＝2，而A＋B＋C＝180°，∴tan(A＋B)＝－tanC＝－2，即＝－2，将tanB＝3tanA代入，得＝－2，∴tanA＝1或tanA＝－，而0°＜A＜90°，则A＝45°，故选B.答案B5.(2016·洛阳统考)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边长，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sinC＝()A.B.1C.D.解析由A＋C＝2B，且A＋B＋C＝π，得到B＝，∴cosB＝，又a＝1，b＝，根据余弦定理得：b2＝a2＋c2－2ac·cosB，即c2－c－2＝0，解得c＝2，c＝－1(舍去)，又sinB＝，b＝，根据正弦定理＝得sinC＝＝＝1.答案B6.(2016·石家庄模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC，则sinA＋sinB的最大值是()A.1B.C.D.3解析由csinA＝acosC，得sinCsinA＝sinAcosC，又在△ABC中sinA≠0，所以sinC＝cosC，tanC＝，C∈(0，π)，所以C＝.所以sinA＋sinB＝sinA＋sin＝sinA＋cosA＝sin，A∈，所以当A＝时，sinA＋sinB取得最大值，故选C.答案C二、填空题7.(2015·重庆卷)在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________.解析依题意知∠BDA＝C＋∠BAC，由正弦定理得＝，∴sin＝， C＋∠BAC＝180°－B＝60°，∴C＋∠BAC＝45°，∴∠BAC＝30°，C＝30°.从而AC＝2·ABcos30°＝.答案8.(2016·陕西八校联考)设△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且满足S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，则S的最大值为________.解析 S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，∴bcsinA＝2bc－(b2＋c2－a2)＝2bc－2bccosA，即sinA＋4cosA＝4.联立解得sinA＝，∴S＝bcsinA＝bc≤×＝，当且仅当b＝c＝4时取等号.答案9.(2015·云南检测)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA＋sinB＝2sinC，b＝3，则cosC的最小值等于________.解析由sinA＋sinB＝2sinC可得a＋b＝2c， b＝3，∴a＋3＝2c.∴cosC＝＝.∴由c＝，得cosC＝＝＝≥， 当且仅当a＝，即a＝时，等号成立，∴cosC≥.∴cosC的最小值为.答案三、解答题10.(2016·烟台一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝5，c＝7.(1)求角C的大小；(2)求sin的值.解(1)由余弦定理，得cosC＝＝＝－. 0＜C＜π，∴C＝.(2)由正弦定理＝，得sinB＝＝＝， C＝，∴B为锐角，∴cosB＝＝＝.∴sin＝sinBcos＋cosBsin＝×＋×＝.11.已知向量p＝(2sinx，cosx)，q＝(－sinx，2sinx)，函数f(x)＝p·q.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)＝1，c＝1，ab＝2，且a>b，求a，b的值.解(1)f(x)＝－2sin2x＋2sinxcosx＝－1＋cos2x＋2sinxcosx＝sin2x＋cos2x－1＝2sin－1.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，∴f(x)的单调增区间是(k∈Z).(2) f(C)＝2sin(2...
