高中数学浅析圆锥曲线中的相交弦问题专题辅导VIP免费

高中数学浅析圆锥曲线中的相交弦问题徐加生关于圆锥曲线中的相交弦有三种常见的表现形式，即两弦相交成直角、两相交弦倾斜角互补、三弦组成特殊的三角形。下面分类举例，阐述常用的求解策略，供参考。一、两弦相交成直角例1.已知椭圆xaybab222210()与x轴正方向交于点A，若这个椭圆上有点P，使∠OPA＝90°（O为原点），求椭圆离心率的范围。解析：设P（abcossin，），则OPab(cossin)，，APaab(cossin)，。由∠OPA＝90°，则OPAP·0即aaabcos(cos)(sin)20，所以ba22211cos(cos)sincoscos，可得eba222111cos因为cos()11，所以1112cos()，又01e，所以ee2121221()()，，即，。注：两向量垂直的坐标公式的运用为成功解题选择了捷径。例2.（2004年湖北卷）已知直线lykx：1与双曲线Cxy：2122的右支交于不同的两点A、B。（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。解析：（1）将直线l的方程ykx1代入双曲线C的方程2122xy后，整理得()kxkx222220①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A、B，设AxyBxy()()1122，，，；则k220≠且282022kk)()且xxkk122220且xxk122220解联立不等式组得k的取值范围为（－2，2）。（2）假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0），则FA⊥FB，所以kkyxcyxcFAFB11221，即()()xcxcyy12120又ykxykx112211，，代入前式整理得()()()kxxkcxxc212122110将xxkkxxkc122122222262，及代入，化简得522602kk解得k665±。又kk66522与，()不合，舍去。所以k665符合题意。注：用斜率的关系是解决两直线垂直的有力武器，不可忽视。例3.（2000年春季高考北京卷）设点A和B为抛物线ypxp240()上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB于M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。解析：依题意，设AxyBxy()()1122，，，，则xypxyp11222244，。又OA⊥OB，得xxyy12120即ypypyy122212440化简得yyp12216。而kyyxxpyyAB1212124，所以直线AB的方程为yypyyxyp1121244()。令y＝0，并将yyp12216代入得xp4，即直线AB与x轴交于定点Q（4p，0）。又OM⊥AB，由平面几何知识得：动点M的轨迹是以线段OQ为直径，以点（2p，0）为圆心的圆，其方程为xypxx22400()≠注：利用平面几何知识将两弦垂直与以线段为直径的圆相互转化也是常用的策略。二、两相交弦倾斜角互补例4.（2004年高考北京卷）过抛物线ypxp220()上一定点P（xyy0000，)()，作两条直线分别交抛物线于A（xy11，）、B（xy22，）。（1）求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F的距离；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求yyy120的值，并证明直线AB的斜率是非零常数。解析：（1）当yp2时，xp8。又抛物线ypx22的准线方程为xp2，由抛物线定义得所求距离为ppp8258()。（2）由ypxypx12102022，，相减得()()()yyyypxx100102，故kyyxxpyyxxPA101010102()≠同理可得kpyyxxPB22020()≠由PA与PB倾斜角互补知kkPAPB，所以yyyyyy12012022，由ypxypx12122222，，故kyyxxpyyxxAB212112122()≠。将yyykpyAB12002，代入得，所以直线AB的斜率是非零常数。注：将两相交弦倾斜角互补转化为斜率互为相反数，利用等量关系列式求解。例5.如图1，已知A，B，C是长轴为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，且ACBC·0，||||BCAC2。（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；（2）如果椭圆上两点P、Q使直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数使PQAB？请给出证明。图1解析：（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图直角坐标系，则A（2，0），椭圆方程可设为xybb2224102()...