专题07三角函数的图象和性质一、基础过关题1.（2018北京卷）设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为______．【答案】【解析】解：函数，若对任意的实数x都成立，可得：，，解得，，则的最小值为：．故答案为：．利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可．本题考查三角函数的最值的求法与应用，考查转化思想以及计算能力．2．函数y＝cos(π4－2x)的单调减区间为______________．【答案】[kπ＋π8，kπ＋5π8](k∈Z)3．为了得到函数y＝cos(2x＋π3)的图象，可将函数y＝sin2x的图象()A．向左平移5π6个单位长度B．向右平移5π6个单位长度C．向左平移5π12个单位长度D．向右平移5π12个单位长度【答案】C【解析】由题意，得y＝cos(2x＋π3)＝sin(2x＋π3＋π2)＝sin2(x＋5π12)，则它是由y＝sin2x向左平移5π12个单位得到的，故选C.4．关于函数y＝tan(2x－π3)，下列说法正确的是()A．是奇函数B．在区间(0，π3)上单调递减C．(π6，0)为其图象的一个对称中心D．最小正周期为π【答案】C5．(2016·潍坊模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx－π6)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f(x)的最小正周期为()A.3π5B.6π5C.9π5D.12π5【答案】B【解析】由函数f(x)＝2sin(ωx－π6)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－π6＝kπ＋π2，k∈Z，∴ω＝k＋23，∴ω＝53，从而得函数f(x)的最小正周期为53＝6π5.6．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若f(π8)＝－2，则f(x)的一个单调递减区间是()A．[－π8，3π8]B．[π8，9π8]C．[－3π8，π8]D．[π8，5π8]【答案】C7．(2016·全国丙卷)函数y＝sinx－cosx的图象可由函数y＝sinx＋cosx的图象至少向右平移________个单位长度得到．【答案】2π3【解析】y＝sinx－cosx＝2sinπ3，y＝sinx＋cosx＝2sinπ3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到．8．(2016·太原模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)π2的最小正周期是π，若将f(x)的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象()A．关于直线x＝π12对称B．关于直线x＝5π12对称C．关于点π，0对称D．关于点5π，0对称【答案】B【解析】由题意知2πω＝π，∴ω＝2；又由f(x)的图象向右平移π3个单位后得到y＝sin[2π3＋φ]＝sin2π，此时关于原点对称，∴－2π3＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝2π3＋kπ，k∈Z，又|φ|＜π2，∴φ＝－π3，∴f(x)＝sinπ3.当x＝π12时，2x－π3＝－π6，∴A、C错误；当x＝5π12时，2x－π3＝π2，∴B正确，D错误．9．(2016·威海模拟)若f(x)＝2sinωx＋1(ω>0)在区间[－π2，2π3]上是增函数，则ω的取值范围是__________．【答案】(0，34]10．(2015·北京)已知函数f(x)＝sinx－2sin2x2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间2π3上的最小值．【答案】(1)f(x)的最小正周期为2π.；(2)f(x)在区间2π3上的最小值为－.解(1)因为f(x)＝sinx＋cosx－＝2sinπ3－，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为0≤x≤2π3，所以π3≤x＋π3≤π.当x＋π3＝π，即x＝2π3时，f(x)取得最小值．所以f(x)在区间2π3上的最小值为f2π3＝－.11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象过点P(π12，0)，图象上与点P最近的一个最高点是Q(π3，5)．(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的递增区间．【答案】(1)y＝5sin(2x－π6)；(2)增区间为[kπ－π6，kπ＋π3](k∈Z)．12．已知函数f(x)＝cos2x＋sinx·cosx－32.(1)求函数f(x)的最小正周期T和函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)的对称中心为(x,0)，求x∈[0,2π)的所有x的和．【答案】(1)T＝2π2＝π递增区间为[－5π12＋kπ，π12＋kπ]，k∈Z；(2)x的和为13π3【解析】(1)由题意得f(x)＝sin(2x＋π3)，∴T＝2π2＝π，令－π2＋2kπ≤2x＋π3≤π2＋2kπ，k∈Z.可得函数f(x)的单调递增区间为[－5π12＋kπ，π12＋kπ]，k∈Z.(2)令2x＋π3＝kπ，k∈Z，可得x＝－π6＋kπ2，k∈Z. x∈[0,2π)，∴k可取1,2,3,4.∴所有满足条件的x的和为2π6＋5π6＋8π6＋11π6＝13π3.二、能力提高题1．若f(x)＝sin(2x＋φ)＋b，对任意实数x都有fπ3＝f(－x)，f2π...
