专题13导数与函数的极值、最值问题【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.【方法点评】类型一利用导数研究函数的极值使用情景：一般函数类型解题模板：第一步计算函数的定义域并求出函数的导函数；第二步求方程的根；第三步判断在方程的根的左、右两侧值的符号；第四步利用结论写出极值.例1已知.（1）若，求曲线的单调性；（2）若在处取得极大值，求实数的取值范围.【答案】（1）在上为减函数;（2）③若，则当时，故在上单调递增；当时，，故在上单调递减，所以当时，，即，故在上点掉递减，不满足题意.④若，则，当时，，故在上单调递减，且当时，，即；当时，，即，又，所以在处取得极大值，满足题意，综上，实数的取值范围是.【变式演练1】已知函数在处有极值10，则等于（）A．11或18B．11C．18D．17或18【答案】C【解析】试题分析：,或．当时,在处不存在极值．当时，，；,符合题意．所以．．故选C．考点：函数的单调性与极值．【变式演练2】设函数，若是的极大值点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B考点：函数的极值．【变式演练3】函数在上无极值，则_____.【答案】【解析】试题分析：因为，所以，由得或，又因为函数在上无极值，而，所以只有，时，在上单调，才合题意，故答案为.考点：1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究函数的单调性.【变式演练4】已知等比数列的前项和为，则的极大值为（）A．2B．C．3D．【答案】B考点：1、等比数列的性质；2、利用导数研究函数的单调性及极值．【变式演练5】设函数有两个不同的极值点，，且对不等式恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：因为,故得不等式,即,由于,令得方程,因,故，代入前面不等式,并化简得,解不等式得或，因此,当或时,不等式成立,故答案为.考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.【变式演练6】已知函数的极大值点和极小值点都在区间内,则实数的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：.考点：导数与极值．类型二求函数在闭区间上的最值使用情景：一般函数类型解题模板：第一步求出函数在开区间内所有极值点；第二步计算函数在极值点和端点的函数值；第三步比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例2已知函数，.（1）求函数在上的最值；（2）求函数的极值点.【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）见解析.（2）依题意，，，当时，令，则.因为，所以，其中，因为，所以，，所以当时，，当时，，所以函数在上是增函数，在上是减函数，故为函数的极大值点，函数无极小值点.【变式演练7】已知.（1）求函数最值；（2）若，求证：.【答案】（1）取最大值，无最小值；（2）详见解析.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，若，则，欲证：，只需证：， 函数在单调递减，只需证：，考虑到，即证，也即证下证：，设，，∴，故g（x）在上单调递增，故时，g（x）
