保分题冲关系列(三)(时间：45分钟分数：60分)1．(2015·四川内江四模)已知向量a＝，b＝.(1)当a∥b时，求cos2x－sin2x的值；(2)设函数f(x)＝2·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＝，求f(x)＋4cos的取值范围．解：(1)∵a∥b，∴cosx＋sinx＝0，∴tanx＝－.∴cos2x－sin2x＝＝＝.(2)∵f(x)＝2(a＋b)·b＝sin＋，由正弦定理得，＝可得sinA＝，所以A＝.f(x)＋4cos＝sin－.∵x∈，∴2x＋∈，所以－1≤f(x)＋4cos≤－.2．(2015·内蒙古呼伦贝尔二模)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为4，E是BC的中点，点F在侧棱CC1上，且CC1＝4CF.(1)求证：EF⊥A1C；(2)求点C到平面AEF的距离．(1)证明：过点E作EN⊥AC于N，连接EF.连接NF，AC1，由直棱柱的性质知，底面ABC⊥侧面A1C，所以EN⊥侧面A1C，所以NF⊥A1C，在Rt△CNE中，CN＝CEcos60°＝×4×＝1，又∵CC1＝4CF，∴＝，∴NF∥AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥AC1，A1C⊥平面NEF，所以EF⊥A1C.(2)解：设点C到平面AEF的距离为d，则V三棱锥C－AEF＝V三棱锥F－AEC，即S△AEF·d＝·S△AEC·CF，所以d＝.3.(2015·辽宁大连二模)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如下表：甲厂：分组[29.86，29．90)[29.90，29．94)[29.94，29．98)[29.98，30．02)[30.02，30．06)[30.06，30．10)[30.10，30．14)频数1530125198773520乙厂：分组[29.86，29．90)[29.90，29．94)[29.94，29．98)[29.98，30．02)[30.02，30．06)[30.06，30．10)[30.10，30．14)频数407079162595535(1)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与不同的分厂有关”；甲厂乙厂合计优质品非优质品合计附：k2＝P(K2≥k),0.100,0.050,0.025,0.010,0.001k,2.706,3.841,5.024,6.635,10.828(2)现用分层抽样方法(按优质品和非优质品分二层)从乙厂抽取五件零件，求从这五件零件中任意取出两件，至少有一件优质品的概率．解：(1)列联表如下：甲厂乙厂合计优质品400300700非优质品100200300合计5005001000χ2＝＝≈47.619>10.828.所以有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与不同的分厂有关”．(2)乙厂抽取3件优质品，2件非优质品，优质品记为a，b，c，非优质品记为1,2.从中任意抽取2件，抽取的情况构成的集合为{ab，ac，a1，a2，bc，b1，b2，c1，c2,12}，至少有一件优质品的情况为{ab，ac，a1，a2，bc，b1，b2，c1，c2}，所以从这五件零件中任意取出两件，至少有一件优质品的概率为.4．(2015·浙江温州二测)已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)．(1)设bn＝an＋1＋an(n∈N*)，求证：{bn}是等比数列；(2)①求数列{an}的通项公式；②求证：对于任意n∈N*都有＋＋…＋＋＜成立．解：(1)由已知得an＋1＋an＝3(an＋an－1)，(n≥2，n∈N*)，则bn＋1＝3bn，又b1＝3，则{bn}是以3为首项、3为公比的等比数列．(2)①解法一：由(1)得bn＝3n，即an＋1＋an＝3n，则an＋an－1＝3n－1，(n≥2)，相减得an＋1－an－1＝2×3n－1，(n≥2)，则a3－a1＝2×31，a5－a3＝2×33，…，a2n－1－a2n－3＝2×32n－3，相加得a2n－1－a1＝，则a2n－1＝(n≥2)，当n＝1时，上式也成立，由a2n＋a2n－1＝32n－1，得a2n＝，故an＝.解法二：由an＋1＋an＝3n，得(－1)n＋1an＋1－(－1)nan＝－(－3)n，则(－1)nan－(－1)n－1an－1＝－(－3)n－1，…，(－1)2a2－(－1)1a1＝－(－3)1，相加得an＝.解法三：由an＋1＋an＝3n，得＋·＝，设cn＝，则cn＋1＋cn＝，可得cn＋1－＝－，又c1＝，故cn－＝·n－1，则an＝.②证明：证法一：易证≤，则＋＋…＋＝＋＋…＋<1＋＋…＋＝<，同理可得≤.则＋＋…＋＝＋＋…＋<＋＋…＋＝<，故＋＋…＋＋<＋＝.证法二：＋＝＋＝<＝＋.故＋＋……＋＋<1＋＋＋＋……＋＋＝＋<＋＝＝<＝.证法三：＋＋…＋＝＋＋…＋<1＋＋＋…＋＝1＋<，易证<＝，则＋＋…＋＝＋＋…＋<＋＋＋…＋＝＋<，故＋＋…＋＋<＋＝<＝.
