专题16圆锥曲线的综合应用1．已知F1，F2是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则PF1·PF2的最大值是()A．－2B．1C．2D．4解析：设P(x，y)，依题意得点F1(－，0)，F2(，0)，PF1·PF2＝(－－x)(－x)＋y2＝x2＋y2－3＝x2－2，因为－2≤x≤2，所以－2≤x2－2≤1，因此PF1·PF2的最大值是1.答案：B2．已知椭圆＋＝1内有两点A(1，3)，B(3，0)，P为椭圆上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为()A．3B．4C．5D．15答案：D3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l与双曲线C：－y2＝1的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，若x1·x2＞0，则k的取值范围是()A.B.∪C.D.∪解析：易知双曲线两渐近线y＝±x，当k＞或k＜－时，l与双曲线的右支有两个交点，满足x1x2＞0.答案：D4．椭圆C：＋＝1的焦点在x轴上，点A，B是长轴的两端点，若曲线C上存在点M满足∠AMB＝120°，则实数m的取值范围是()A．(3，＋∞)B．[1，3)C．(0，)D．(0，1]解析：依题意，当0＜m＜3时，焦距在x轴上，要在曲线C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan60°，即≥.解得0＜m≤1.答案：D5．在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点的坐标为()A．(0，1)B．(0，2)C．(2，0)D．(1，0)答案：B6．设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y2＝x的一个交点的横坐标为x0，若x0＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是________．解析：双曲线C：－＝1的一条渐近线为y＝x，7．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点P，则FP·FQ的最小值为________．解析：如图，FP·FQ＝|FP|2＝|FQ|2－1.由抛物线的定义知：|FQ|＝d(d为点Q到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，所以|FQ|min＝2，所以FP·FQ的最小值为3.答案：38．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．解析：不妨设A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)(y2＜0)．则|AC|＋|BD|＝x2＋y1＝＋y1.又y1y2＝－p2＝－4.所以|AC|＋|BD|＝－(y2＜0)．利用导数易知y＝－在(－∞，－2)上递减，在(－2，0)上递增．所以当y2＝－2时，|AC|＋|BD|的最小值为3.答案：39．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点P在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程；(2)过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q(xQ，yQ)(点Q异于点P)，若0＜xQ＜1，求直线l斜率k的取值范围．解：(1)由题意得解得故椭圆E的方程为＋y2＝1.10．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)D是抛物线C上的动点，点E(－1，3)，若直线AB过焦点F，求|DF|＋|DE|的最小值；(2)是否存在实数p，使|2QA＋QB|＝|2QA－QB|？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由．解：(1)因为直线2x－y＋2＝0与y轴的交点为(0，2)，所以F(0，2)，则抛物线C的方程为x2＝8y，准线l：y＝－2.设过D作DG⊥l于G，则|DF|＋|DE|＝|DG|＋|DE|，当E，D，G三点共线时，|DF|＋|DE|取最小值为2＋3＝5.11．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点Q在椭圆上，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值．解：(1)因为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，所以e2＝＝＝，得a2＝2b2，①又点Q在椭圆C上，所以＋＝1，②联立①、②得a2＝8，且b2＝4.所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)当直线PN的斜率k不存在时，PN的方程为x＝或x＝－，从而有|PN|＝2，S＝|PN|·|OM|＝×2×2＝2；当直线PN的斜率k存在时，12.设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．解：(1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而...
