第二讲椭圆、双曲线、抛物线配套作业一、选择题1.若椭圆+=1的离心率为,则实数m等于(A)A.或B.C.D.或解析:若m>2,则=,解得m=.若0<m<2,则=,解得m=.2.(2015·新课标Ⅱ卷)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=(C)A.2B.8C.4D.10解析:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则解得∴圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0,得y=-2+2或y=-2-2,∴M(0,-2+2),N(0,-2-2)或M(0,-2-2),N(0,-2+2),∴|MN|=4,故选C.3.(2015·福建卷)若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于(B)A.11B.9C.5D.3解析:由双曲线定义得=2a=6,即=6,解得|PF2|=9,故选B.4.已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为(A)A.B.C.(1,2)D.(1,-2)解析:如图,抛物线的焦点F(1,0),准线方程l:x=-1,点P到准线的距离为|PD|.由抛物线的定义知|PF|=|PD|,显然D,P,Q共线时,|PD|+|PQ|最小,即|PF|+|PQ|最小.此时yP=-1,代入抛物线方程知xp=,∴P.5.(2014·江西卷)过双曲线C:-=1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为(A)A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析:因为C:-=1的渐近线为y=±x,所以A(a,b)或A(a,-b).因此OA=c=4,从而三角形OAC为正三角形,即tan60°=,a=2,b=2,双曲线C的方程为-=1.6.(2014·大纲卷)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于(C)A.2B.2C.4D.4解析:由已知可知渐近线的斜率k==且=2,即=且1+=4解得c2-3=1,所以c=2,2c=4.故选C.二、填空题7.(2015·北京卷)已知(2,0)是双曲线x2-=1(b>0)的一个焦点,则b=________.解析:由题意得,双曲线焦点在x轴上,且c=2.根据双曲线的标准方程,可知a2=1.又c2=a2+b2,所以b2=3.又b>0,所以b=.答案:8.在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方,若直线l的倾斜角为60°,则△OAF的面积为________.解析:由y2=4x,可求得焦点坐标为F(1,0),因为倾斜角为60°,所以直线的斜率为k=tan60°=,利用点斜式,直线的方程为y=x-,将直线和曲线方程联立,⇒A(3,2),B,因此S△OAF=×OF×yA=×1×2=.答案:三、解答题9.已知圆O′过定点A(0,p)(p>0),圆心O′在抛物线C:x2=2py上运动,MN为圆O′在x轴上所截得的弦.(1)当点O′运动时,|MN|是否有变化?并证明你的结论.(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项且M,N在原点O的右侧时,试判断抛物线C的准线与圆O′是相交、相切还是相离,并说明理由.解析:(1)设O′(x0,y0),则x=2py0(y0>0),则⊙O′的半径|O′A|=,⊙O′的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=x+(y0-p)2.令y=0,并把x=2py0代入得x2-2x0x+x-p2=0.解得x1=x0-p,x2=x0+p,∴|MN|=|x1-x2|=2p,∴|MN|不变化,为定值2p.(2)设MN的中点为B,则|OM|+|ON|=2|OB|且O′B⊥MN.又 |OA|是|OM|与|ON|的等差中项,∴|OM|+|ON|=2|OA|,可得B(p,0),O′.∴|O′A|==p.即圆O′的半径为p.又 点O′到抛物线C的准线的距离为-=p<p.∴圆O′与抛物线C的准线相交.10.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.解析:(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),所以c=1.将点P(0,1)代入椭圆方程+=1,得=1,即b=1,所以a2=b2+c2=2.所以椭圆C1的方程为+y2=1.(2)直线l的斜率显然存在且不为0,设直线l的方程为y=kx+m,由消去y并整理得:(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,因为直线l与椭圆C1相切,所以Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0,整理得2k2-m2+1=0.①由消去y并整理得:k2x2+(2km-4)x+m2=0.因为直线l与抛物线C2相切,所以Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0,整理得km=1.②综合①②...