提升综合素养（二）平面向量1.如图所示，在△ABC中，设AB＝a，AC＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则AP＝()A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b解析：选C连接BP，则AP＝AC＋CP＝b＋PR，①AP＝AB＋BP＝a＋RP－RB.②由①＋②，得2AP＝a＋b－RB.③又RB＝QB―→＝(AB－AQ)＝，④将④代入③，得2AP＝a＋b－，解得AP＝a＋b.2．已知向量a＝(m,1)，b＝(m2,2)．若存在λ∈R，使得a＋λ0，则m＝()A．0B．2C．0或2D．0或－2解析：选C∵a＝(m,1)，b＝(m2,2)，a＋λb＝0，∴(m＋λm2,1＋2λ)＝(0,0)，即∴故选C.3．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(2m，m＋1)．若∥，则实数m的值为()A.B．－C．－D．－3解析：选D＝－＝(3,1)，由∥，得3(m＋1)＝2m，解得m＝－3，故选D.4．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：选C由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，∴2·＝0，∴⊥，∴A＝90°.故选C.5．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，则|a－c|的最小值为()A．1B.C.D.解析：选D∵|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，∴a与c的夹角为60°.又|a－c|＝＝＝，故|a－c|min＝.6．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinB＝1，向量p＝(a，b)，q＝(1,2)．若p∥q，则C的大小为()A.B.C.D.解析：选B由sinB＝1，得B＝，所以在△ABC中，cosC＝.又由p＝(a，b)，q＝(1,2)，p∥q，得2a－b＝0，a＝，故cosC＝，所以C＝.7．对于向量a，b，当且仅当________________时，有|a－b|＝||a|－|b||.解析：当a，b不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a－b|>||a|－|b||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a－b|＝||a|－|b||.答案：a与b同向8．设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．解析：依题意得|e1|＝|e2|＝1，且e1·e2＝，|b|＝2，所以向量a在b方向上的射影为|a|cos〈a，b〉＝＝＝.答案：9．已知向量a＝(2,5)，b＝，且a⊥(a＋2b)，则y＝________.解析：由题意，知a＋2b＝，因为a⊥(a＋2b)，所以5＋5(5＋2y)＝0，解得y＝－3.答案：－310．已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－，求点C，D和的坐标．解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)．由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．∵＝，＝－，∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)，(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)．则有解得∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，因此＝(－2，－4)．11.如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，DC的中点，BE，BF与AC分别交于点R，T，证明：R，T为AC的三等分点．证明：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝b－a.由于与共线，因此存在实数m，使得＝m(a＋b)．又与共线，因此存在实数n，使得＝n＝n.由＝＋＝＋n，得m(a＋b)＝a＋n，整理得(m＋n－1)a＋b＝0.由于向量a，b不共线，所以有解得所以＝.同理TC＝A，所以RT＝，所以AR＝RT＝TC，所以R，T为AC的三等分点．12．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈，向量b＝(，－1)．(1)若a⊥b，求θ的值；(2)若|2a－b|4.，即实数m的取值范围为(4，＋∞)．
