一、等差、等比数列的基本运算培优点十等差数列与等比数列例1：等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得．又，所以，所以，所以，所以，故选B．例2：是公差不为0的等差数列，满足，则该数列的前项和等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，得，即，即，又因为，所以，则该数列的前项和．故选C．例3：已知递增数列对任意均满足，，记，则数列的前项和等于（）二、等差、等比数列的性质及应用A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，若，那么矛盾；若，那么成立；若，那么矛盾，，，又有，，于是得到，即，数列是首项为，公比为的等比数列，所以前项和为，故选D．例4：已知数列，满足，，其中是等差数列，且，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】 数列，满足，，其中是等差数列，∴数列是等比数列，由，可得，即，∴，∴．例5：各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则等于（）A．B．C．或D．或【答案】B【解析】 数列为等比数列且数列的前项和为，∴，，也构成等比数列，∴， ，，各项均为正数的等比数列，∴，∴．故选B．例6：等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当时，的最大值与最小值之和为（）三、等差、等比数列的综合问题A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意得，．当为奇数时，随着的增大而减小，，随着的增大而增大，；当为偶数时，随着的增大而增大，，随着的增大而增大，．因此的最大值与最小值分别为、，其最大值与最小值之和为，故选C．例7：已知等差数列的公差为，且．（1）求数列的通项公式与前项和；（2）将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前项，记的前项和为，若存在，使对任意，总有恒成立，求实数的取值范围．四、数列与其他知识的交汇【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由，得，∴，∴，从而．（2）由题意知，，，设等比数列的公比为，则，∴，随增加而递减，∴为递增数列，得．又，故，若存在，使对任意总有，则，得，即实数的取值范围为．例8：已知等差数列的项和为，若，且，，三点共线(该直线不对点增分集训过点)，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】 ，、三点共线∴，∴，，又 ，∴，，∴，∴，∴故选B．一、选择题1．设等差数列的前项和为，若，，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】等差数列的前项和为， ，，，解得，，∴．故选C．2．等比数列中，，，则数列的前项和等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】 等比数列中，，，∴，∴数列的前项和，故选D．3．在正项等比数列中，已知，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在正项等比数列中， ，∴，∴，当且仅当时取等号，∴的最小值为，故选C．4．在等比数列中，是方程的两根，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】 ，是方程的两根，∴，， 为等比数列，又，，同号，∴，∴，∴．故选A．5．一个等比数列的前三项的积为，最后三项的积为，且所有项的积为，则该数列的项数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设等比数列为，其前项积为，由已知得，，可得，， ，∴，∴．6．若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大正整数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，，所以，，，所以，，所以使前项和成立的最大正整数是，故选C．7．在数列中，若，且对任意正整数，，总有，则的前项和等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意得，即有，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，，，故选C．8．记为正项等比数列的前项和，若，且正整数，满足，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】 是等比数列，设的公比为，∴，，∴，解得(负值舍去)．又，∴，∴，∴，当且仅当，即，时等号成立，∴的最小值是，故选C．9．数列是以为首项，为公比的等比数列，数列满足，，，数列满足，，，若为等比数列，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，当时，不是等比数列，所以．由，则，得，要使为等比数列，必有，得，，故选B．10．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十...
