高中数学例谈圆锥曲线与平面向量交汇题专题辅导VIP免费

高中数学例谈圆锥曲线与平面向量交汇题由于平面向量具有代数（坐标）表示和几何表示的特点，这就使其成为表述圆锥曲线问题的重要载体。圆锥曲线与平面向量的交汇题是近几年各省市考题的热点之一。这种问题往往以圆锥曲线为主线，融向量、函数、方程、不等式、数列等知识于一体，具有知识点多、覆盖面广、综合性强的特点，能有效考查考生的思维水平和综合能力。下面举例介绍这种问题的六大类型，供同学们学习时参考。类型1——求圆锥曲线的方程例1.如图，A、B、C是长轴为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆的中心O，ACBCBCAC⊥，|||2|，求椭圆的方程。分析：建立坐标系，设点C的坐标，将向量间的关系（垂直关系、长度关系）转化为代数表达式，从而确定椭圆的方程。解：建立如图所示的直角坐标系，则有A（2，0），椭圆方程为xyb22241设点C的坐标为mn，，则点B的坐标为mn， ⊥，∴·ACBCACBC0即mnmn2220，·，∴ mmnBCAC22202|(*)|||∴||||COAC，即mnmn22222得m1将m1代入（*）式，得n1则C（1，1）将xy11，代入椭圆方程得，14112b，即b243故椭圆方程为xy224341例2.已知△OFQ的面积S26，且OFFQm·。设以O为中心，F为焦点的双曲线经过Q，||OFcmc，6412，当||OQ取得最小值时，求此双曲线方程。分析：设点Q的坐标，将向量的数量积、长度转化为代数表达式，再求目标函数的最小值，从而确定双曲线的方程。解：设双曲线方程为xaybQxyFc22220010，，，，()()用心爱心专心FQxcySOFyOFQ0001226，，·||||得yc046OFFQcxcycxccxcOQxycc·，·，06416438962300020020222||当且仅当389622cc，即c4时，||OQ最小，此时有Q66，或66，所以66116412222222ababab故所求的双曲线方程为xy224121类型2——求待定字母的值例3.设双曲线Cxaya：22210与直线lxy：1相交于两个不同的点A、B，直线l与y轴交于点P，且PAPB512，求a的值。分析：设A、B两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求a的值。解：设AxyBxyP112201，，，，，因PAPB512，则xyxyxx11221215121512，，，联立xyxay11222，消去y并整理得：12202222axaxa(*)由A、B是不同的两点，得1048102422aaaa得到02a且a1而xxaaxxaa122212222121，即171221222xaa且512212222xaa解得：x2175212896022aa解得：a1713因为02a且a1，所以a1713类型3——求动点的轨迹用心爱心专心例4.如下图，动直线ykx1与y轴交于点A，与抛物线yx23交于不同的两点B和C，且满足BPPCABAC，，其中R。求△POA的重心Q的轨迹。分析：将向量表达式转化为坐标表达式，消去参数获得重心Q的轨迹方程，再运用判别式确定实数k的取值范围，从而确定轨迹的形状。解：由ykxyx132得：kxkx222140由kk001216，且k0设PxyBxyCxy''，，，，，1122则xxkkxxk122122124，由BPPCxxyyxxyyxxxx''''''112212，，由ABACxyxyxx11221211，，而0，则xxxxxxxxxxxk'''112212122812ykxkkkk''181216112消去k得：xy''(*)260设重心Qxy，，则xxyyxxyy''''313331代入（*）式得：3640xy由1216k且kx0412'且x'8可得434x且x83故点Q的轨迹方程是364043483xyxx且，其轨迹是直线3640xy上且不包括点ABC4304438323，，，，，的线段AB。类型4——证明定值问题例5....