第五讲三角函数的图象与性质1.(2018贵州贵阳模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,-π2<φ<π2)的部分图象如图所示,则φ的值为()A.-π3B.π3C.-π6D.π62.(2018天津,6,5分)将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间[-π4,π4]上单调递增B.在区间[-π4,0]上单调递减C.在区间[π4,π2]上单调递增D.在区间[π2,π]上单调递减3.若关于x的方程2sin(2x+π6)=m在[0,π2]上有两个不等实根,则m的取值范围是()A.(1,❑√3)B.[0,2]C.[1,2)D.[1,❑√3]4.(2018四川成都模拟)设函数f(x)=sin(2x+π3).若x1x2<0,且f(x1)-f(x2)=0,则|x2-x1|的取值范围为()A.(π6,+∞)B.(π3,+∞)C.(2π3,+∞)D.(4π3,+∞)5.(2018课标全国Ⅲ(理),15,5分)函数f(x)=cos(3x+π6)在[0,π]的零点个数为.6.函数f(x)=sin(π2+2x)-5sinx的最大值为.7.已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0),A,B分别是函数f(x)的图象相邻的最高点和最低点.若|AB|=2❑√2,则f(1)=.8.已知ω>0,函数y=sinωx与y=cosωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为❑√3,则ω的值为.9.(2018湖北武汉调研)已知函数f(x)=❑√3sin2x+cos2x+a(a为常数).(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)在[0,π2]上有最小值1,求a的值.10.(2018河北石家庄模拟)函数f(x)=Asin(ωx-π6)+1(A>0,ω>0)的最小值为-1,其图象相邻两个最高点之间的距离为π.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设α∈(0,π2),f(α2)=2,求α的值.11.(2018陕西西安八校联考)已知函数f(x)=2❑√3sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0,π2]上的最大值和最小值;(2)若f(x0)=65,x0∈[π4,π2],求cos2x0的值.答案精解精析1.B由题意,得T2=π3+π6=π2,所以T=π,由T=2πω,得ω=2,由题图可知A=1,所以f(x)=sin(2x+φ).又f(π3)=sin(2π3+φ)=0,-π2<φ<π2,所以φ=π3,故选B.2.A本题主要考查三角函数图象的变换及三角函数的性质.将y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数为y=sin[2(x-π10)+π5]=sin2x,当2kπ-π2≤2x≤2kπ+π2(k∈Z),即kπ-π4≤x≤kπ+π4(k∈Z)时,y=sin2x单调递增,令k=0,则x∈[-π4,π4],所以y=sin2x在[-π4,π4]上单调递增,故选A.3.C2sin(2x+π6)=m在[0,π2]上有两个不等实根等价于函数f(x)=2sin(2x+π6)的图象与直线y=m有两个交点.如图,在同一坐标系中作出y=f(x)和y=m的图象,由图可知m的取值范围是[1,2).4.A如图,画出f(x)=sin(2x+π3)的大致图象,记M(0,❑√32),N(π6,❑√32),则|MN|=π6.设点A,A'是平行于x轴的直线l与函数f(x)图象的两个交点(A,A'位于y轴两侧),这两个点的横坐标分别记为x1,x2,结合图形可知,|x2-x1|=|AA'|∈(|MN|,+∞),即|x2-x1|∈(π6,+∞),故选A.5.答案3解析本题考查函数与方程.令f(x)=0,得cos(3x+π6)=0,解得x=kπ3+π9(k∈Z).当k=0时,x=π9;当k=1时,x=4π9;当k=2时,x=7π9,又x∈[0,π],所以满足要求的零点有3个.6.答案4解析f(x)=cos2x-5sinx=1-2sin2x-5sinx=-2(sinx+54)2+338,f(x)max=-2×(-1+54)2+338=4.7.答案12解析设f(x)的最小正周期为T,则有❑√22+(T2)2=2❑√2,解得T=4,所以ω=2πT=2π4=π2,所以f(x)=sin(π2x+π3),所以f(1)=sin(π2+π3)=sin5π6=12.8.答案π解析令sinωx=cosωx,得sinωx-cosωx=❑√2sin(ωx-π4)=0,所以ωx-π4=kπ,k∈Z,即x=1ω·(kπ+π4),k∈Z.如图,设两图象相邻的两交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),且点A,B分别在第一、四象限,当k=0时,x1=π4ω,y1=❑√22;当k=1时,x2=5π4ω,y2=-❑√22.由勾股定理,得(x2-x1)2+(y2-y1)2=(❑√3)2,即(5π4ω-π4ω)2+(-❑√22-❑√22)2=3.化简,得ω2=π2.又ω>0,所以ω=π.9.解析(1)f(x)=2❑√32sin2x+12cos2x+a=2sin(2x+π6)+a,令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π3≤x≤kπ+π6,k∈Z,∴f(x)的单调递增区间为[kπ-π3,kπ+π6](k∈Z).(2)当0≤x≤π2时,π6≤2x+π6≤76π,∴-12≤sin(2x+π6)≤1,∴当x=π2时,f(x)取最小值,最小值为a-1=1,∴a=2.10.解析(1)∵函数f(x)的最小值为-1,A>0,∴-A+1=-1,即A=2.∵函数f(x)的图象的相邻两个最高点之间的距离为π,∴函数f(x)的最小正周期T=π,∴ω=2,故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x-π6)+1.(2)∵f(α2)=2sin(α-π6)+1=2,∴sin(α-π6)=12.∵0<α<π2,∴-π6<α-π6<π3,∴α-π6=π6,得α=π3.11.解析(1)∵f(x)=❑√3(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=❑√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6),∴函数f(x)的最小正周期为π.又x∈[0,π2],∴2x+π6∈[π6,7π6],∴sin(2x+π6)∈[-12,1],∴函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值为2,最小值为-1.(2)∵f(x0)=2sin(2x0+π6)=65,∴sin(2x0+π6)=35.又x0∈[π4,π2],∴2x0+π6∈[2π3,7π6],∴cos(2x0+π6)=-❑√1-sin2(2x0+π6)=-45.∴cos2x0=cos[(2x0+π6)-π6]=cos(2x0+π6)cosπ6+sin(2x0+π6)sinπ6=3-4❑√310.
