高二数学文寒假专题——数形结合思想在解题中的应用北师大版VIP专享VIP免费

高二数学文寒假专题——数形结合思想在解题中的应用北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：数形结合思想在解题中的应用二、教学目标：1.使学生对运用数形结合的方法解决数学问题有一个初步的了解。2.能用数形结合法解决一些简单的数学问题。三、教学重、难点数形结合法的理解是本节课的教学重点。难点是应用数形结合法解题四、知识要点分析：1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。2．所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式()()xy21422。3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在三角函数解题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。考点一：利用数形结合的方法解决有关方程有两个不相等的实数根和不等式问题：【例题分析】例1.若关于x的方程xkxk2230的两根都在区间（－1，3）内，求k的取值范围。解：由yfx()的图象可知，要使两根都在区间（－1，3）内，只需ff()()1030，，fbafk()()20，同时成立，解得10k，故k()10，用心爱心专心说明：fxxkxk()223，其图象与x轴交点的横坐标就是方程fx()0的根，根据函数图象的性质可以得出对应的方程情况。其他函数和方程也可以类似得出解决的方法。例2.已知01a，则方程axxa|||log|的实根个数为（）A.1个B.2个C.3个D.1个或2个或3个解：判断方程的根的个数就是判断图象yayxxa|||log|与的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选B。说明：数形结合法可以解决一些既不是无理方程，也不是二次或三次方程的其他方程或不等式，也就是超越方程或者不等式。例如本例题中axxa|||log|的方程。考点二：利用数形结合法解决有关最大值最小值的问题例3.如果实数xy，满足()xy2322，则yx的最大值为（）A.12B.33C.32D.3解：等式()xy2322有明显的几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为()20，，半径r3，（如图），而yxyx00则表示圆上的点()xy，与坐标原点（0，0）的连线的斜率，如此一来，该问题可转化为如下几何问题：动点A在以（2，0）为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值，由下图可见，当点A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算，得最大值为。例4.已知xy、满足xyyx22162513，求的最大值与最小值。用心爱心专心解：对于二元函数yx3在限定条件xy2216251下求最值问题，常采用构造直线的截距的方法来求之。令yxbyxb33，则，原问题转化为：在椭圆xy2216251上求一点，使过该点的直线斜率为3，且在y轴上的截距最大或最小，由图形知，当直线yxb3与椭圆xy2216251相切时，有最大截距与最小截距。yxbxyxbxb31625116996164000222由0，得b13，故yx3的最大值为13，最小值为13。例5.求函数yxxsincos22的值域。几何法：yxxsincos22的形式类似于斜率公式yyyxx2121，yxxsincos22表示过两点PPxx022()(cossin)，，，的直线的斜率。由于点P在单位圆xy221上（见下图）显然，kykPAPB00设过P0的圆的切线方程为ykx22()，则有||22112kk...