第39讲空间向量及其运算和空间位置关系1.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为()A.-2B.-143C.145D.22.在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是()A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱AA1和BB1的中点,则sin<⃗CM,⃗D1N>的值为()A.19B.4❑√59C.2❑√59D.234.已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,则λ=.5.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若⃗AP=2⃗PB,则|⃗PD|的值是.6.如图K39-1,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为M,设⃗AB=a,⃗AD=b,⃗AA1=c,则下列向量中与⃗C1M相等的向量是()图K39-1A.-12a+12b+cB.12a+12b+cC.-12a-12b-cD.-12a-12b+c7.已知三棱锥A-BCD的每条棱长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则⃗AE·⃗AF的值为()A.a2B.12a2C.14a2D.❑√34a28.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且⃗AM=12⃗MC1,N为B1B的中点,则|⃗MN|=()A.❑√216aB.❑√66aC.❑√156aD.❑√153a9.如图K39-2所示,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE、四边形CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是()图K39-2A.❑√3B.❑√2C.1D.❑√3-❑√210.如图K39-3,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是对边OA,BC的中点,点G在线段MN上,⃗MG=23⃗MN,现用一组基向量⃗OA,⃗OB,⃗OC表示向量⃗OG,设⃗OG=x⃗OA+y⃗OB+z⃗OC,则x,y,z的值分别是()图K39-3A.x=13,y=13,z=13B.x=13,y=13,z=16C.x=13,y=16,z=13D.x=16,y=13,z=1311.已知空间中有任意一点O和不共线的三点A,B,C,若⃗OP=x⃗OA+y⃗OB+z⃗OC(x,y,z∈R),则“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.已知O点为空间直角坐标系的原点,向量⃗OA=(1,2,3),⃗OB=(2,1,2),⃗OP=(1,1,2),且点Q在直线OP上运动,当⃗QA·⃗QB取得最小值时,⃗OQ的坐标是.13.已知V为矩形ABCD所在平面外一点,且VA=VB=VC=VD,⃗VP=13⃗VC,⃗VM=23⃗VB,⃗VN=23⃗VD,则VA与平面PMN的位置关系是.14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,给出下列说法:①(⃗A1A+⃗A1D1+⃗A1B1)2=3⃗A1B12;②⃗A1C·(⃗A1B1-⃗A1A)=0;③向量⃗AD1与向量⃗A1B的夹角是60°;④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|⃗AB·⃗AA1·⃗AD|.其中正确说法的序号是.15.如图K39-4,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,⃗AA1=a,⃗AB=b,⃗AD=c,点M,N分别是A1D,B1D1的中点.(1)试用a,b,c表示⃗MN;(2)求证:MN∥平面ABB1A1.图K39-416.如图K39-5,在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF=x,其中0≤x≤a,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.(1)写出点E,F的坐标;(2)求证:A1F⊥C1E;(3)若A1,E,F,C1四点共面,求证:⃗A1F=12⃗A1C1+⃗A1E.图K39-5课时作业(三十九)1.D[解析]由题意知a·(a-λb)=0,即a2-λa·b=0,所以14-7λ=0,解得λ=2.2.B[解析]由题意得,⃗AB=(-3,-3,3),⃗CD=(1,1,-1),所以⃗AB=-3⃗CD,所以⃗AB与⃗CD共线,又因为⃗BC=(5,3,-5),与⃗AB不共线,所以AB∥CD.3.B[解析]如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则易得⃗CM=(2,-2,1),⃗D1N=(2,2,-1),∴cos<⃗CM,⃗D1N>=⃗CM·⃗D1N|⃗CM||⃗D1N|=-19,∴sin<⃗CM,⃗D1N>=❑√1-(-19)2=4❑√59.4.-9[解析]由题意知c=xa+yb,即(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),∴{2x-y=7,x+2y=6,-3x+3y=λ,解得{x=4,y=1,λ=-9.5.❑√773[解析]设P(x,y,z),则⃗AP=(x-1,y-2,z-1),⃗PB=(-1-x,3-y,4-z),由⃗AP=2⃗PB,得点P的坐标为-13,83,3,又D(1,1,1),所以|⃗PD|=❑√773.6.C[解析]⃗C1M=⃗C1C+⃗CM=-⃗AA1-12⃗AC=-⃗AA1-12(⃗AB+⃗AD)=-12⃗AB-12⃗AD-⃗AA1=-12a-12b-c.故选C.7.C[解析]易知三棱锥A-BCD为正四面体,则⃗AE·⃗AF=12(⃗AB+⃗AC)·12⃗AD=14(⃗AB·⃗AD+⃗AC·⃗AD)=14(a2cos60°+a2cos60°)=14a2.8.A[解析]以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则A(a,0,0),C1(0,a,a),Na,a,a2.设M(x,y,z),因为点M在AC1上且⃗AM=12⃗MC1,所以(x-a,y,z)=12(-x,a-y,a-z),解得x=23a,y=a3,z=a3.所以M2a3...
