培优点十六利用空间向量求夹角1．利用面面垂直建系例1：在如图所示的多面体中，平面平面，四边形为边长为2的菱形，为直角梯形，四边形为平行四边形，且，，．（1）若，分别为，的中点，求证：平面；（2）若，与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）连接， 四边形为菱形，∴． 平面平面，平面平面，平面，，∴平面．又平面，∴． ，∴． ，∴平面． 分别为，的中点，∴，∴平面．（2）设，由（1）得平面，由，，得，．过点作，与的延长线交于点，取的中点，连接，，如图所示，又，∴为等边三角形，∴，又平面平面，平面平面，平面，故平面． 为平行四边形，∴，∴平面．又 ，∴平面． ，∴平面平面．由（1），得平面，∴平面，∴． ，∴平面，∴是与平面所成角． ，，∴平面，平面， ，∴平面平面．∴，，解得．在梯形中，易证，分别以，，的正方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．则，，，，，，由，及，得，∴，，．设平面的一个法向量为，由得，令，得设平面的一个法向量为，由得，令，得．∴，又 二面角是钝角，∴二面角的余弦值是．2．线段上的动点问题例2：如图，在中，，，，沿将翻折到的位置，使平面平面．（1）求证：平面；（2）若在线段上有一点满足，且二面角的大小为，求的值．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）中，由余弦定理，可得．∴，∴，∴．作于点， 平面平面，平面平面，∴平面． 平面，∴．又 ，，∴平面．又 平面，∴．又，，∴平面．（2）由（1）知，，两两垂直，以为原点，以方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，则，，．设，则由，设平面的一个法向量为，则由，取．平面的一个法向量可取，∴． ，∴．3．翻折类问题例3：如图1，在边长为2的正方形中，为中点，分别将，沿，所在直线折叠，使点与点重合于点，如图2．在三棱锥中，为中点．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的大小．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．【解析】（1）在正方形中，为中点，，，∴在三棱锥中，，． ，∴平面． 平面，∴．（2）取中点，连接，取中点，连接．过点作的平行线． 平面，∴，． ，为的中点，∴．∴．如图所示，建立空间直角坐标系．，，，． ，为的中点，∴． 平面，平面，∴平面平面． 平面平面，平面，∴平面． ．∴平面的法向量．．设直线与平面所成角为，则．∴直线与平面所成角的正弦值为．（3）由（2）知，，．设平面的法向量为，则有即，令，则，．即．∴．由题知二面角为锐角，∴它的大小为．一、单选题1．如图，在所有棱长均为的直三棱柱中，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设的中点，以，，为，，轴建立坐标系，对点增分集训则，，，，则，，设与成的角为，则，故选C．2．在三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，侧棱底面，点在棱上，且，若与平面所成的角为，则的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，建立空间直角坐标系，易求点．平面的一个法向量是，∴，则．故选D．3．如图，圆锥的底面直径，高，为底面圆周上的一点，，则空间中两条直线与所成的角为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 圆锥的底面直径，高，为底面圆周上的一点，，∴可得，，，，则，，设空间两条直线与所成的角为，∴，∴，即直线与所成的角为，故选B．4．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，平面平面，是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可知，，，，则，， 是的中点，∴，设平面的法向量，直线与平面所成角为，则可取，，故选D．5．如图，在直三棱柱中，，，点与分别是和的中点，点与分别是和上的动点．若，则线段长度的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，则，，由于，∴，∴，故，∴当时，线段长度取得最小值，且最小值为．故选A．6．如图，点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，...
