8.6双曲线[课时跟踪检测][基础达标]1.(2017届合肥质检)若双曲线C1:-=1与C2:-=1(a>0,b>0)的渐近线相同,且双曲线C2的焦距为4,则b=()A.2B.4C.6D.8解析:由题意得=2⇒b=2a,C2的焦距2c=4⇒c==2⇒b=4,故选B.答案:B2.若双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±xC.y=±xD.y=±x解析:由条件e==,得==1+=3,所以=,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.故选B.答案:B3.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点为F1,F2,且C上点P满足PF1·PF2=0,|PF1|=3,|PF2|=4,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.5解析:依题意得,2a=|PF2|-|PF1|=1,|F1F2|==5,因此该双曲线的离心率e==5.答案:D4.(2017届长春质检)过双曲线x2-=1的右支上一点P,分别向圆C1:(x+4)2+y2=4和圆C2:(x-4)2+y2=1作切线,切点分别为M,N,则|PM|2-|PN|2的最小值为()A.10B.13C.16D.19解析:由题可知,|PM|2-|PN|2=(|PC1|2-4)-(|PC2|2-1)=|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|-|PC2|)(|PC1|+|PC2|)-3=2(|PC1|+|PC2|)-3≥2|C1C2|-3=13.答案:B5.(2018届河南六市第一次联考)已知点F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,若|AB|∶|BF2|∶|AF2|=3∶4∶5,则双曲线的离心率为()A.2B.4C.D.解析:由题意,设|AB|=3k,|BF2|=4k,|AF2|=5k,则BF1⊥BF2. |AF1|=|AF2|-2a=5k-2a,|BF1|-|BF2|=5k-2a+3k-4k=4k-2a=2a,∴a=k,∴|BF1|=6a,|BF2|=4a.又|BF1|2+|BF2|2=|F1F2|2,即13a2=c2,∴e==.答案:C6.(2018届合肥市第二次质量检测)双曲线M:x2-=1的左、右焦点分别为F1、F2,记|F1F2|=2c,以坐标原点O为圆心,c为半径的圆与曲线M在第一象限的交点为P,若|PF1|=c+2,则点P的横坐标为()A.B.C.D.解析:由点P在双曲线的第一象限可得|PF1|-|PF2|=2,则|PF2|=|PF1|-2=c,又|OP|=c,∠F1PF2=90°,由勾股定理可得(c+2)2+c2=(2c)2,解得c=1+.易知△POF2为等边三角形,则xP==,选项A正确.答案:A7.(2018届湖南十校联考)设双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与直线x=分别交于A,B两点,F为该双曲线的右焦点.若60°<∠AFB<90°,则该双曲线的离心率的取值范围是________.解析:双曲线-=1的两条渐近线方程为y=±x,x=时,y=±,不妨设A,B,因为60°<∠AFB<90°,所以|PB|.因为点P是双曲线与圆的交点,所以由双曲线的定义知,|PA|-|PB|=2,①又|PA|2+|PB|2=36,②联立①②化简得2|PA|·|PB|=16,所以(|PA|+|PB|)2=|PA|2+|PB|2+2|PA|·|PB|=52,所以|PA|+|PB|=2.答案:29.(2017年全国卷Ⅰ)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为________.解析: |AM|=|AN|=b,∠MAN=60°,∴△MAN是等边三角形,∴在△MAN中,MN上的高h=b. 点A(a,0)到渐近线bx-ay=0的距离d==,∴=b,∴e===.答案:10.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则双曲线的离心率e的最大值为________.解析:由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=4|PF2|,所以|PF1|=a,|PF2|=a,在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2==-e2,要求e的最大值,即求cos∠F1PF2的最小值,当F1、P、F2三点共线时,即∠F1PF2=π时,cos∠F1PF2有最小值为-1,∴cos∠F1PF2=-e2≥-1,解得10,b>0)的左、右顶点,|AB|=4,焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM+ON=tOD,求t的值及点D的坐标.解:(1)由题意知a=...