专题限时集训(十三)导数的简单应用(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2018·南宁模拟)已知曲线f(x)＝在点(1，f(1))处切线的斜率为1，则实数a的值为()A．－B．－1C.D．2B[f′(x)＝，则f′(1)＝＝1，解得a＝－1，故选B.]2．(2018·黄山模拟)已知f(x)＝，则()A．f(2)＞f(e)＞f(3)B．f(3)＞f(e)＞f(2)C．f(3)＞f(2)＞f(e)D．f(e)＞f(3)＞f(2)D[f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝e.∴当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，故x＝e时，f(x)max＝f(e)＝，而f(2)＝＝，f(3)＝＝，所以f(e)＞f(3)＞f(2)，故选D.]3．已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为()A．[－3，＋∞)B．(－3，＋∞)C．(－∞，－3)D．(－∞，－3]D[由题意知f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，故－3∈[k,2]，所以k≤－3.]4．(2018·南平模拟)已知可导函数f(x)的导函数为f′(x)，f(0)＝2018，若对任意的x∈R，都有f(x)＞f′(x)，则不等式f(x)＜2018ex的解集为()A．(0，＋∞)B.C.D．(－∞，0)A[根据题意构建函数g(x)＝，g′(x)＝＜0，故函数在R上递减，且g(0)＝2018，所以f(x)＜2018ex等价于g(x)＝＜g(0)，所以x＞0，故选A.]二、填空题5．已知函数f(x)＝x2＋3x－2lnx，则函数f(x)的单调递减区间为________．[函数f(x)＝x2＋3x－2lnx的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2x＋3－，令2x＋3－<0，即2x2＋3x－2<0，解得x∈.又x∈(0，＋∞)，所以x∈.所以函数f(x)的单调递减区间为.]6．(2018·长春模拟)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线经过点(2,7)，则a＝________.1[f′(x)＝3ax2＋1，由题意知f′(1)＝3a＋1＝，即3a＋1＝5－a，解得a＝1.]三、解答题7．已知函数f(x)＝(1)求函数f(x)在区间(－∞，1)上的极大值点和极小值；(2)求函数f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值．[解](1)当x<1时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值所以当x＝0时，函数f(x)取得极小值f(0)＝0，函数f(x)的极大值点为x＝.(2)①当－1≤x<1时，由(1)知，函数f(x)在[－1,0)和上单调递减，在上单调递增．因为f(－1)＝2，f＝，f(0)＝0，所以f(x)在[－1,1)上的最大值为2.②当1≤x≤e时，f(x)＝alnx，当a≤0时，f(x)≤0.当a>0时，f(x)在[1，e]上单调递增，所以f(x)在[1，e]上的最大值为f(e)＝a.综上，当a≥2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为a；当a<2时，f(x在[－1，e]上的最大值为2.8．(2018·临沂模拟)已知函数f(x)＝1＋－ax(1)讨论f(x)的单调性(2)若函数g(x)＝xf(x)在(1,2)上不存在极值，求a的取值范围．[解](1)f′(x)＝－e－x－a，①当a≥0时，f′(x)＜0在R上恒成立，②当a＜0时，令f′(x)＞0，则有－e－x－a＞0，解得x＞ln.令f′(x)＜0，则有－e－x－a＜0，解得x＜ln，综上，当a≥0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a＜0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)由g(x)＝xf(x)＝x＋－ax2，得g′(x)＝1＋－2ax＝1＋－2ax， g(x)在(1,2)上无极值，∴g′(x)＝0，即1＋－2ax＝0在(1,2)上无解，即2a＝－在(1,2)上无解．令h(x)＝－，x∈(1,2)，则h′(x)＝－－＝， x∈(1,2)，∴x2－x－1－ex＜x2－x－2＝(x＋1)(x－2)＜0，∴h′(x)＜0，∴h(x)在(1,2)上单调递减，则h(2)＜h(x)＜h(1)， h(1)＝1，h(2)＝，∴＜h(x)＜1，即a的取值范围为.9．(2018·兰州模拟)已知函数f(x)＝x2－2alnx＋(a－2)x.(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使函数g(x)＝f(x)－ax在(0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．[解](1)当a＝－1时，f(x)＝x2＋2lnx－3x，则f′(x)＝x＋－3＝＝.当02时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当1
