第一讲直线与圆(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知三条直线x=1,x-2y-3=0,mx+y+2=0交于一点,则m的值为()A.1B.2C.-1D.-2【解析】选C.由方程组解得x=1,y=-1,代入mx+y+2=0中,得m-1+2=0,所以m=-1.2.点P(-1,1)关于直线ax-y+b=0的对称点是Q(3,-1),则a,b的值分别是()A.-2,2B.2,-2C.,-D.,【解析】选B.因为点P(-1,1)关于直线ax-y+b=0的对称点是Q(3,-1),所以a×=-1,a×-+b=0,所以a=2,b=-2.3.已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积最大时,直线l的倾斜角为()A.150°B.135°C.120°D.30°【解析】选A.设∠AOB=α,则S△AOB=()2sinα=sinα≤1,当且仅当α=90°时,取等号.此时,△AOB为等腰直角三角形,如图,斜边为BA,斜边上的高为1,又因为OP=2,所以∠BPO=30°,所以直线l的倾斜角为150°.4.设直线x-y+m=0(m∈R)与圆(x-2)2+y2=4交于A,B两点,过A,B分别作x轴的垂线与x轴交于C,D两点.若线段CD的长度为,则m=()A.1或3B.1或-3C.-1或3D.-1或-3【解析】选D.联立得2x2+2(m-2)x+m2=0,则Δ=-4(m2+4m-4).设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=2-m,x1x2=,所以|CD|=|x1-x2|===,解得m=-3或m=-1,此时Δ>0成立.5.已知圆(x+3)2+y2=64的圆心为M,设A为圆上任一点,点N的坐标为(3,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选C.因为圆(x+3)2+y2=64的圆心为M,A为圆上任一点,点N的坐标为(3,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,所以P是AN的垂直平分线上一点,所以PA=PN,又因为AM=8,所以点P满足PM+PN=AM=8>MN=6,即P点满足椭圆的定义,焦点是(3,0),(-3,0),半长轴a=4,故P点轨迹方程为+=1,因为PM+PN=8,所以==-1,因为1≤PN≤7,所以∈,所以∈.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于不同的两点A,B,O是坐标原点,|+|≥||,那么实数m的取值范围是____________.【解析】因为直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于相异两点A,B,所以O点到直线x+y+m=0的距离d<,又因为|+|≥||,由平行四边形定理可知,夹角为钝角的邻边所对的对角线比夹角为锐角的邻边所对的对角线短,所以和的夹角为锐角.又因为直线x+y+m=0的斜率为-1,即直线与x的负半轴的夹角为45度,当和的夹角为直角时,直线与圆交于(-,0),(0,-)或(,0),(0,),此时原点与直线的距离为1,故d≥1,综合可知1≤d<,又d=,所以1≤<,解得:-2.(2)直线l的方程为y=k(x-1),代入圆C的方程得:(1+k2)x2-(2k2+6k+4)x+k2+6k+12=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=,x1+x2=,所以y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2(x1x2-x1-x2+1)=,所以·=x1x2+y1y2==12,解得k=3或k=0(舍),所以l的方程为3x-y-3=0.故圆心(2,3)在直线l上,所以|MN|=2r=2.【提分备选】已知直线l:y=k(x+1)+与圆x2+y2=4交于A,B两点,过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=4,则|CD|=____________.【解析】由圆的方程x2+y2=4可知:圆心为(0,0),半径r=2.因为弦长为|AB|=4=2r,所以可以得知直线l经过圆心O.所以0=k(0+1)+,解得...
