高三数学复习限时训练（95）1、已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝(sinA，1)，n＝(1，－cosA)，且m⊥n．（1）求角A；（2）若b＋c＝a，求sin(B＋)的值．2、如图，在四棱锥O—ABCD中，AD//BC，AB＝AD＝2BC，OB＝OD，M是OD的中点．（1）求证：MC//平面OAB；（2）求证：BD⊥OA．3、记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2＋，S3＝12＋．（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；（2）记bn＝an－，若自然数n1，n2，…，nk，…满足1≤n1＜n2＜…＜nk＜…，并且，，…，，…成等比数列，其中n1＝1，n2＝3，求nk（用k表示（3）试问：在数列{an}中是否存在三项ar，as，at(r＜s＜t，r，s，t∈N*)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．限时训练（95）参考答案1．解：（1）因为m⊥n，所以m·n＝0，即sinA－cosA＝0．………………………2分所以sinA＝cosA，得tanA＝．…………………………………………………………4分又因为0＜A＜π，所以A＝．………………………………………………………………6分（2）（解法1）因为b＋c＝a，由正弦定理得sinB＋sinC＝sinA＝．………………8分因为B＋C＝，所以sinB＋sin(－B)＝．………………………………………………10分用心爱心专心1OMDABC化简得sinB＋cosB＝，…………………………………………………………………12分从而sinB＋cosB＝，即sin(B＋)＝．……………………………………………14分（解法2）由余弦定理可得b2＋c2－a2＝2bccosA，即b2＋c2－a2＝bc①．……………8分又因为b＋c＝a②，联立①②，消去a得2b2－5bc＋2c2＝0，即b＝2c或c＝2b．……………………………10分若b＝2c，则a＝c，可得B＝；若c＝2b，则a＝b，可得B＝．………………12分所以sin(B＋)＝．…………………………………………………………………………14分2．证明：（1）设N是OA的中点，连结MN，NB．因为M是OD的中点，所以MN//AD，且2MN＝AD．……………………………………2分又AD//BC，AD＝2BC，所以四边形BCMN是平行四边形，从而MC//NB．…………………………………………4分又MC平面OAB，NB平面OAB，所以MC//平面OAB；…………………………………………………………………………7分（2）设H是BD的中点，连结AH，OH．因为AB＝AD，所以AH⊥BD．又因为OB＝OD，所以OH⊥BD．……………………………………………………………9分因为AH平面OAH，OH平面OAH，AH∩OH＝H，所以BD⊥平面OAH．………………………………………………………………………12分因为OA平面OAH，所以BD⊥OA．……………………………………………………14分3．解：（1）因为a1＝2＋，S3＝3a1＋3d＝12＋，所以d＝2．…………………2分所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋，……………………………………………………………3分Sn＝＝n2＋(＋1)n．………………………………………………………………5分（2）因为bn＝an－＝2n，所以＝2nk．………………………………………………7分又因为数列{}的首项＝，公比，所以．…………9分所以2nk，即nk．……………………………………………………………10分（3）假设存在三项ar，as，at成等比数列，则，用心爱心专心2即有，整理得．…………12分若，则，因为r，s，t∈N*，所以是有理数，这与为无理数矛盾；………………………………………………………………………………14分若，则，从而可得r＝s＝t，这与r＜s＜t矛盾．综上可知，不存在满足题意的三项ar，as，at．……………………………………………16分用心爱心专心3
