高中数学 求函数值域的常用方法 学法指导VIP专享VIP免费

高中数学求函数值域的常用方法学法指导祁正红求函数的值域是高一教材的重点内容，也是高考必考内容，下面总结出求函数值域的十种方法。一、图像法画出函数的大致图像，找出最高点及最低点，即可得函数的值域。例1.求函数，的值域。分析：根据图像得：当时，；所以。二、配方法对于形如或类型的函数值域问题，均可用配方法求解。例2.求函数的值域。分析：。当时，；所以原函数的值域是[0，2]。三、反函数法利用反函数的定义域是原函数的值域的关系求解，形如函数的值域可用此方法，也可用分离常数法。例3.求函数的值域。分析：的反函数是；的定义域是；函数的值域是。另解：用分离常数法：就是通过分式恒等变形，将分式分子中的变量消去，化为常数。。因为，因为即。四、换元法利用代数或三角换元，将所给函数转化为易求值域的函数，形如的函数，令；形如，令；形如的结构函数，令。例4.求函数的值域。分析：得：；，当时，；函数的值域是。用心爱心专心116号编辑五、不等式法利用基本不等式求函数值域时要注意条件“一正、二定、三相等”三个条件必须同时满足，缺一不可。例5.求函数的最大值。分析：由基本不等式六、函数单调性法确定函数在定义域的单调性，然后求函数值域。例如，利用基本不等式法求值域，等号不能成立时，可考虑用单调性法。例6.求函数的值域。分析：判断函数的单调性：任取且。当递增；当递减，所以当时，的极大值是；当时，的极小值是；函数的值域是。七、数形结合法如果所给函数有明显的几何意义，可借助几何图形求函数值域，形如结构的函数，可联想两点连线的斜率。例7.求函数的值域。分析：可以写成，可以看作是定点（-2，0）与动点连线的斜率，而动点满足。故问题转化为求定点与单位圆上的点连线斜率的最值。经过（-2，0）的直线方程为。由（0，0）到直线的距离公式得：，所以函数的值域为。八、判别式法把函数转化为关于x的二次方程=0，通过方程有实根，判别式，从而求得用心爱心专心116号编辑函数值域，形如（不同时为0）的函数，当时求函数值域常用此法。例8.求函数的值域。分析：将已知变形得：。（1）当，不成立。（2）当时，由，故原函数的值域是。九、函数有界性法利用三角函数的有界性，即，求函数值域。形如，可用y表示出，再根据，解关于y的不等式，可求y的范围。例9.求函数的值域。分析：由得：：由得：。解得：；所以的值域为。十、导数法设函数的导数是，由可求得极值点坐标，若函数的定义域为，则最值必定是极值点和区间端点中函数的最大值和最小值，导数法是求函数值域的通用方法。例10.求函数的值域。分析：由得，即函数的定义域为。所以函数上是增函数，而。所以的值域是。用心爱心专心116号编辑