课时作业35直线与平面垂直的性质时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下列命题：①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．其中正确的个数是(D)A．0B．1C．2D．3解析：①②③均正确．2．在空间中，下列命题中正确的是(B)①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．A．①③④B．①④C．①D．①②③④3．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则(C)A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直解析：因为平面α与平面β相交，直线m⊥α，所以m垂直于两平面的交线，所以β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直．4．(多选)如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．以下各命题中，真命题为(ABCD)A．BC⊥PCB．OM∥平面APCC．点B到平面PAC的距离等于线段BC的长D．三棱锥MPAC的体积等于三棱锥PABC体积的一半解析：因为PA⊥圆O所在的平面，BC⊂圆O所在的平面，所以PA⊥BC，而BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，所以BC⊥PC，故A正确；因为点M为线段PB的中点，点O为AB的中点，所以OM∥PA，而OM⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以OM∥平面APC，故B正确；因为BC⊥平面PAC，所以点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，故C正确；三棱锥MPAC和三棱锥PABC均可以平面PAC为底面，此时M到底面的距离是B到底面距离的一半，故三棱锥MPAC的体积等于三棱锥PABC体积的一半，故D正确．5.如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝(D)A．2B．3C.D.解析：因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF綉DE.因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.因为AF＝2，所以DE＝2.又CD＝3，所以CE＝＝＝.6．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(C)A．相交B．异面C．平行D．不确定解析：因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m，故选C.二、填空题7．长方体ABCDA1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，且MN⊥BC于点M，则MN与AA1的位置关系是平行．解析：如图．易知AB⊥平面BCC1B1.又 MN⊂平面BCC1B1，∴AB⊥MN.又 MN⊥BC，AB∩BC＝B，∴MN⊥平面ABCD，易知AA1⊥平面ABCD.故AA1∥MN.8．直线a和b在正方体ABCDA1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是①②③.(只填序号即可)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．解析：①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为基本事实4的应用，故①②③正确．9．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，则MN与AD1的位置关系为平行；若AM＝λAB，则λ＝.解析： ABCDA1B1C1D1为正方体，∴CD⊥平面AA1D1D，∴CD⊥AD1，又 四边形AA1D1D为正方形，∴A1D⊥AD1，∴AD1⊥平面A1DC，又MN⊥平面A1DC，∴AD1∥MN，连接ON，则四边形AMON为平行四边形，AM＝ON＝AB，故λ＝.三、解答题10．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明：B1C⊥AB.(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABCA1B1C1的高．解：(1)证明：如图，连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，故B1C⊥平面ABO.由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB.(2)方法1：在平面BB1C1C内作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.在平面AOD内作OH⊥AD，垂足为H.如图．由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC.又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC.因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．又BC＝1，可得OD＝.由于AC⊥AB1，所以OA...
