第83讲排列组合常见问题的解法【知识要点】一、两个计数原理1、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第类办法中有种不同的方法．那么完成这件事共有＝十十…十种不同的方法．2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．3、“类”和“步”的区别在于：“类”和“类”之间是相互独立的，互不影响，每一类都可以单独完成任务；“步”和“步”之间是相互依存的，相互影响的，每一步不能单独完成任务.二、排列1、排列的定义：从个不同元素中，任取()个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.2、不同的排列的定义：元素和顺序至少有一个不同.3、相同的排列的定义：元素和顺序都相同的排列.4、排列数的定义：从个不同元素中，任取()个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示.5、排列数公式：==(，∈，且)．(叫做的阶乘)规定三、组合1、组合的定义：从个不同元素中，任取()个元素，并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.2、组合数：从个不同的元素中取出()个元素的所有组合的个数，用符号表示.3、组合数公式：===(∈，，且)规定，这里两个公式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算，注意公式的逆用，即由=4、组合数性质：(1)=;(2)+=5、要弄清排列和组合的区别和联系：有序排列，无序组合.四、排列组合综合性问题1、排列组合问题的解题步骤：仔细审题编程列式计算2、编程的一般方法一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.3、解排列组合问题，要排组分清（有序排列，无序组合），加乘有序(分类加法，分步乘法).【方法讲评】方法一简单问题直接法解题方法直接利用两个计数原理，直接进行排列组合解答.【例1】（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A．种B.种C.种D.种【点评】如果已知条件没有什么限制条件，可以直接利用两个计数原理分步和分类解答.【反馈检测1】2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有种（用排列组合表示）．【反馈检测2】甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则有多少种坐法（）A．10B．16C．20D．24方法二特殊元素优先法解题方法优先考虑一些特殊的元素和位置.【例2】由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.【解析】由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有种方法，然后排首位共有种方法，最后排其它位置共有种方法，由分步乘法原理得共有种方法.【点评】位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置.若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件.【反馈检测3】2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A.36种B.12种C.18种D.48种方法三相邻元素捆绑法解题方法先把相邻元素捆绑在一起，再进行排列....
