专题09向量的基本应用一、基础过关题1.（2018上海高考）在平面直角坐标系中，已知点、，E、F是y轴上的两个动点，且，则的最小值为______．【答案】据题意可设，，从而得出，即，或，并可求得，将带入上式即可求出的最小值，同理将带入，也可求出的最小值．考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．2．(2015·课标全国Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.【答案】12【解析】∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.3.(2016·滨州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足c＝xa＋yb(x，y∈R)，则x＋y＝________.【答案】1354．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于()A.14B.12C．1D．2【答案】B【解析】∵a＋λb＝(1＋λ，2)，c＝(3,4)，且(a＋λb)∥c，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12，故选B.5．(2017·淮南质检)已知平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为()A．(－12，5)B．(12，5)C．(12，－5)D．(－12，－5)【答案】D【解析】∵＝＋＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，∴＝12＝(12，5)，∴＝(－12，－5)．6．若向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a＋b|等于()A．2B．2C．4D．12【答案】B【解析】|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos60°＝4＋4＋2×2×2×12＝12，|a＋b|＝2.7．(2016·山西四校二联)已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b夹角的正弦值为()A．－12B．－32C.12D.32【答案】D8.如图，在△ABC中，若|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则·等于()A.89B.109C.259D.269【答案】B【解析】若|＋|＝|－|，则2＋2＋2·＝2＋2－2·，即有·＝0.E，F为BC边的三等分点，则·＝(＋)·(＋)＝·＝·＝292＋292＋59·＝29×(1＋4)＋0＝109.故选B.9．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足＝2，则·(＋)的值为________．【答案】－4【解析】由题意得，AP＝2，PM＝1，所以·(＋)＝·2＝2×2×1×cos180°＝－4.10．(2016·江西白鹭洲中学调研)已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的中点，则·＋·＝________.【答案】411．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若＝2，求点C的坐标．【答案】(1)a＋b＝2.(2)点C的坐标为(5，－3)．【解析】(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，∵A，B，C三点共线，∴∥.∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．∴a－1＝4，b－1＝－4，解得a＝5，b＝－3.∴点C的坐标为(5，－3)．12．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．【答案】(1)θ＝23π..(2)|a＋b|＝.(3)S△ABC＝3.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝.(3)因为与的夹角θ＝23π，所以∠ABC＝π－2π3＝π3.又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，所以S△ABC＝12||||·sin∠ABC＝12×4×3×32＝3.二、能力提高题1.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】∵O为BC的中点，∴＝12(＋)＝12(m＋n)＝m2＋n2，∵M，O，N三点共线，∴m2＋n2＝1，∴m＋n＝2.2.设G为△ABC的重心，且sinA·＋sinB·＋sinC·＝0，则角B的大小为________．【答案】60°3．在△ABC中，·＝3，△ABC的面积S∈[32，32]，则与夹角的取值范围是________．【答案】[π6，π4]【解析】由三角形面积公式及已知条件知32≤S△ABC＝12AB·BCsinB≤32，所以≤AB·BCsinB≤3，①由·＝3，知AB·BCcos(π－B)＝3，所以AB·BC＝－，代入①得，≤－≤3，所以－1≤tanB≤－33，所以3π4≤B≤5π6，而与的夹角为π－B，其取值范围为[π6，π4]．4.如图所示，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．(1)设＝λ，将用λ，，表示；(2)设＝x，＝y，证明：1x＋1y是定值．【答案】(1)＝(1－λ)＋λ；(2)1x＋1y＝3(定值)．(2)证明一方面，由(1)，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；①另一方面，∵G是△OAB的重心，∴＝23＝23×12(＋)＝13＋13.②由①②得1.∴1x＋1y＝3(1－λ)＋3λ＝3(定值)．
