专题2.1多点开花巧求向量内积一、典例分析，融合贯通典例1如图为边长为2的等边三角形，在线段上有一点,则=.【解法1】（定义法）如图：MKGECABDFP.【点睛之笔】本题关键在于构造，求出.【解法2】（基底法）以为基底表示，，又三点共线，，=3=18.【点睛之笔】把化为,利用三点共线，再把用基底表示.yxKGECBADFP【点睛之笔】建立坐标系，内积数量化.【解法4】（特值法）令与重合，【点睛之笔】小题小做，提速神器.【解后反思】解法1：从定义出发，直接在直角三角形求夹角的余弦，利用直角三角形中余弦的定义，化简求出最后结果.解法2：利用平面向量基本定理，目标明确以为基底，（注意必须是不共线的）利用了转化思想，简单实用.解法3：利用数量积的计算公式，内积数量化，简化思维过程，体现数形结合思想.（适合有垂直的条件的习题）.解法4：充分利用填空题的特点，小题小做，以特殊代替一般，让动点P具体化，是解决选择填空题常用的方法.本题四种解法包括了求向量内积常用的几种方法和特值法，方法多元化，能举一反三，起到事半功倍的效果，与其跳进题海不能自拔，不如仔细研究这样一题收获丰厚.典例2【2015天津，理14】在等腰梯形中，已知，，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为.【解法1】【等价转化思想】因为，，，，，当且仅当，即时，的最小值为.【点睛之笔】以为基底，利用均值不等式求解.【点睛之笔】等腰梯形适合建立坐标系，内积数量化之典例.【解法3】【数形结合思想】由题意得，，过、作，垂足分别为、．则，，，，设，则，当且仅当，即时，的最小值为.【点睛之笔】数形结合显神威！【解后反思】方法1：在向量运算中常用平面向量基本定理，即在平面内选一组适当的向量（必须不共线）作为基向量，根据向量加减法运算法则将所求向量数量积转化为基向量数量积，结合向量的数量积定义表示要运算的向量,充分体现了等价转化思想的应用；方法2：本解法通过建立平面直角坐标系，根据具体的图形性质用坐标表示向量，再利用向ABHCDEFG量数量积的坐标式进行计算，体现了几何问题转化为代数问题的解题策略；方法3：从平面几何性质出发，利用三角形表示欲求向量的模及夹角，几何条件与三角代数结合是本方法的关键.典例3（2017高考全国卷Ⅱ理12题）已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）A.B.C.D.【解法1】（坐标法）如图建系：yxMACOBP设点点为中点可以有两种思路：【点睛之笔】本题由于是在等边三角形中的问题，可以考虑用坐标法解决.把所求的向量内积转化成坐标形式，进一步求出最小值.【解法2】(基底转换法),当点与重合时=,等号成立.MOABCP【点睛之笔】基底表示法是解决向量问题的一利器！.【解法3】极化恒等式法（1）OMFEABCP由解法一可知：，由利用极化恒等式得：，当点与重合时=,.【解法4】极化恒等式法（2）设分别为中点，,利用性质：“在平行四边形中对角线的平方和等于各边的平方和”得：当点与重合时取最小值.【点睛之笔】利用极化恒等式进行转换.【点睛之笔】利用定义结合余弦定理.【解后反思】解法1：构造直角坐标系，典型又直接.在有垂直的条件下建立坐标系是首选方法.解法2：选择不共线的向量作为基底，把表示出来，体现了转化的思想.解法3和解法4利用了向量的一个性质.积累一些常见结论，适当运用可以起到事半功倍的效果.解法5：利用了余弦定理和“在平行四边形中对角线的平方和等于各边的平方和”体现了数形结合的思想.二、精选试题，能力升级1.在Rt△ABC中,CA=CB=3,M,N是斜边AB上的两个动点,且MN=,则的取值范围为()A.B.[2,4]C.[3,6]D.[4,6]【答案】D2.已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21【答案】A【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，xyBCAP，即，所以，，因此，因为，所以的最大值等于，当，即时取等号．3.已知向量，，，若与的夹角为60°，且，则实数的值为（）A.B.C.6D.4【答案】A【解析】，，故选A.4.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=+，则+的最大值为A．3B．2C．D．2【答案】A5.在中，，，，为边上的高，为的中点，，则（）A...
