专题02常见函数值域或最值的经典求法【高考地位】函数值域是函数概念中三要素之一,是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法.【方法点评】方法一观察法解题模板：第一步观察函数中的特殊函数；第二步利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.例1函数的最大值是（）A.B.C.D.【变式演练1】求函数的值域.【解析】 2x＞0，∴0≤8﹣2x＜8．∴0≤＜2．故函数的值域是.方法二分离常数法解题模板：第一步观察函数类型，型如；第二步对函数变形成形式；第三步求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域.例2求函数的值域.【解析】函数，根据反比例函数的性质可知：，所以，所以函数的值域为.【变式演练2】求函数的值域.方法三配方法解题模板：第一步将二次函数配方成；第二步根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域.例3定义在上的函数的值域是__________．【解析】由+10+241因为,所以1即函数的值域是【变式演练3】已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：因二次函数的对称轴为,且时,函数值,当时,,因此当时,.故当,故应选C.考点：二次函数的图象和性质.方法四反函数法解题模板：第一步求已知函数的反函数；第二步求反函数的定义域；第三步利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域例4设为，的反函数，则的最大值为．【答案】【变式演练4】求函数的值域.方法五换元法解题模板：第一步观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域.例5已知函数，,求该函数的值域.【解析】因为,所以，令，二次函数在上为增函数，时，；时，.函数的值域为{y|5≤y≤65}.【变式演练5】若求函数的值域.例6求函数的值域.【解析】令，原函数化为，其开口向下，并且对称轴是，故当时取得最大值为，没有最小值，故值域为.【变式演练6】求函数，的值域.方法六判别式法解题模板：第一步观察函数解析式的形式，型如的函数；第二步将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范围，即得函数的值域.例7求函数的值域.【变式演练7】求函数的值域.【解析】，当时方程有解，当时由可得，综上可知值域为.方法七基本不等式法解题模板：第一步观察函数解析式的形式，型如或的函数；第二步对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.例8已知，求函数的最小值.例9已知函数，求的值域.【解析】，，所以的值域为.【变式演练8】求函数的最小值.【变式演练9】若函数的值域为，则函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，因为的值域为，所以，当且仅当等号是成立的.当时，函数取得最大值，此时最大值为，所以函数的值域为，故选B.考点：函数的性质；基本不等式.方法八单调性法解题模板：第一步确定函数的定义域；第二步求出函数的单调区间；第三步确定函数的值域或最值.例10求函数的值域.2212111222min11122235(02),2]()log(35),2]11()log(0)log5(2)log3411()log5log5,log].4uxxxufxxxffffx12max33在[0,]是减函数，在[上是增函数。22又t=log在定义域上是减函数33在在[0,]是增函数，在[上是减函数223f(x)2函数的值域为[【点评】本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.例11求函数的值域.【解析】函数y＝的定义域为，令，则，函数y＝的值域是.【点评】（1）如果能确定函数的单调性时，可以使用函数的单调性求函数的值域.（2）本题中利用了这样一个性质：增（减）函数+增（减）函数=增（减）函数.（3）本题都是增函数，利用到了复合函数的单调性.【变式演练10】【2017·丽水一模】已知函数f(x)＝则f(f(3))＝________，函数f(x)的最大值是________.【解析】①由于f(x)＝所以f(3)＝log3＝－1，则f(f(3))＝f(－1)＝－3，②当x>1时，f(x)＝logx是减函...
