高考数学 热点难点突破技巧 第06讲 导数中的双参数问题的处理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第06讲：导数中的双参数问题的处理【知识要点】对于导数中的单参数问题（零点问题、恒成立问题和存在性问题），大家解答的比较多，一般利用分离参数和分类讨论来分析解答.对于双参数这些问题，大家如何处理呢？一般利用下面分离次参法和反客为主法两种方法处理.【方法讲评】方法一分离次参法使用情景不等式中含有两个参数（主参数和次参数）和一个自变量，并且次参数比较容易分离.解题步骤一般先分离次参，变成单参数的问题处理.【例1】已知函数．（1）若函数与函数在点处有共同的切线，求的值；（2）证明：；（3）若不等式对所有，都成立，求实数的取值范围．【解析】（1），，，与在点处有共同的切线，，即，设，，故在上是增函数，在上是减函数，故，；（3）由题得不等式对所有的，都成立，因为，所以，所以，即所以，所以【点评】对于不等式，里面有两个参数和一个自变量，形式比较复杂，所以我们可以想到转化和化归的思想，想方法把双参数变成单参数，这个方法就是分离参数.由于题目求的是的范围，所以我们称是主参数，是次参数.第（3）问首先分离次参，最后得到了的取值范围，因此这种方法可以称为“分离次参法”.【反馈检测1】已知，设函数.（1）存在，使得是在上的最大值，求的取值范围；（2）对任意恒成立时，的最大值为1，求的取值范围.方法二反客为主法使用情景含有两个参数和一个自变量，但是次参数系数有正有负，不便分离.解题步骤把次参数看成自变量，把自变量看成参数，构造一次函数解答.【例2】已知函数．若不等式对所有，都成立，求实数的取值范围．因为，所以所以令所以函数在上是增函数，在上是减函数，所以所以综合得.【点评】（1）在中，是自变量，要求的范围，所以是主参，是次参.（2）对于不等式，由于，有正有负，不便分离次参，所以我们要构造一次函数反客为主，中把次参看成自变量，把看作参数，利用一次函数的性质分析解答.（3）一次函数在上恒成立，只须满足.(4)对于“分离次参”的题目，也可以利用反客为主的方法解答.【反馈检测2】已知函数，，，.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）对于任意，任意，总有，求的取值范围.【反馈检测3】已知函数.（1）当时，解关于的不等式；（2）若对任意及时，恒有成立，求实数的取值范围.高中数学热点难点突破技巧第06讲：导数中的双参数问题的处理参考答案【反馈检测1答案】（1）；（2）.③当时，在单调递增，在递减，在单调递增，∴即，∴，④当时，在单调递增，在单调递减，满足条件，综上所述：时，存在，使得是在上的最大值.（2）对任意恒成立，即对任意恒成立，因为的最大值为1，所以,所以，，恒成立，由于，则，当时，，则，若，则在上递减，在上递增，则，∴在上是递增的函数.∴，满足条件，∴的取值范围是.【反馈检测2详细解析】（Ⅰ）则当时，恒成立，即递减区间为，不存在增区间；当时，令得，令得，递减区间为，递增区间；综上：当时，递减区间为，不存在增区间；当时，递减区间为，递增区间；（Ⅱ）令，由已知得只需即若对任意，恒成立，即令，则设，则∴在递减，即∴在递减∴即的取值范围为．【反馈检测3答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（2）由题意知对任意及时，恒有成立，等价于，当时，由得，因为，所以，从而在上是减函数，所以，所以，即，因为，所以，所以实数的取值范围为.