专题33空间向量及其运算1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2.会简单应用空间两点间的距离公式3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直热点题型一空间向量的运算例1、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点。(1)化简：A1O－AB－AD；(2)设E是棱DD1上的点，且DE＝DD1，若EO＝xAB＋yAD＋zAA1，试求x、y、z的值。解析：(1) AB＋AD＝AC，∴A1O－AB－AD＝A1O－(AB＋AD)＝A1O－AC＝A1O－AO＝A1A。(2) EO＝ED＋DO＝D1D＋DB＝D1D＋(DA＋AB)＝A1A＋DA＋AB＝AB－AD－AA1，∴x＝，y＝－，z＝－。【提分秘籍】空间向量的表示方法用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来。【举一反三】如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列向量中与B1M相等的向量是()A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC.a－b＋cD．－a－b＋c热点题型二共线、共面向量定理的应用例2、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH。证明：(1)连接BG，则EG＝EB＋BG＝EB＋(BC＋BD)＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH，由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面。(2)因为EH＝AH－AE＝AD－AB＝(AD－AB)＝BD，所以EH∥BD。又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH。【提分秘籍】应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面PA＝λPBMP＝xMA＋yMB对空间任一点O，OP＝OA＋tAB(t为参数)对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB对空间任一点O，OP＝(1－t)OA＋tOB(t为参数)对空间任一点O，OP＝(1－x－y)OM＋xOA＋yOB【举一反三】已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(OA＋OB＋OC)。(1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内。热点题型三空间向量数量积的运算例3．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)EF·BA。(2)EG·BD。解析：设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°。(1)EF＝BD＝c－a，BA＝－a，所以EF·BA＝·(－a)＝－a·c＋a2＝－＋＝。(2)EG＝EB＋BC＋CG＝AB＋(AC－AB)＋(AD－AC)＝－AB＋AC＋AD＝－a＋b＋c，BD＝AD－AB＝c－a。所以EG·BD＝·(c－a)＝a2－a·b＋b·c＋c2－a·c＝－＋＋－＝。【提分秘籍】1．空间向量数量积计算的两种方法(1)基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉。(2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2。2．利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题(1)a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0。(2)|a|＝。(3)cos〈a，b〉＝。【举一反三】已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，OA＋λOB与OB的夹角为120°，则λ的值为()A．±B.C．－D．±解析：OA＋λOB＝(1，－λ，λ)，cos120°＝＝－，得λ＝±。经检验λ＝不合题意，舍去，∴λ＝－。答案：C1.【2017江苏，22】如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，.（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B-A1D-A的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz.因为AB=AD=2，AA1=，.则.(1)，则.因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.因为，所以.因此二面角B-A1D-A的正弦值为.1.【2016高考新课标2理数】如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由已知得，，又由得，故.因此，从而.由,得.由得.所以，.于是，故.又，而，所以....
