一、平行的证明培优点十五平行垂直的证明例1：如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点在上，，．（1）证明：平面；（2）若是中点，点在上，平面，求线段的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1） 底面是平行四边形，∴， 平面，平面，∴平面．（2） 平面，设过且与平面平行的平面与交与点，二、垂直的证明与交于点，则，，又是平行四边形，，∴，∴平面，∴， 是中点，∴是中点， ，∴，∴．例2：如图，在直三棱柱中，，，点是与的交点，点在线段上，平面．（1）求证：；（2）求证：平面．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）证明：连结， 平面平面，平面，∴． 为中点，∴为中点， ，∴，∴．由平面，平面，得．由、是平面内的两条相交直线，得平面，因为平面，故．（2）由（1）及条件知，，对点增分集训 平面，平面，∴． ，，平面，∴平面． 平面，∴， ，∴，∴四边形是正方形，∴， ，，平面，∴平面．一、选择题1．设，表示两个不同平面，表示一条直线，下列命题正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】D【解析】A选项，可能在平面内，故错误；B选项，如果平行与交线，而该两平面相交，故错误；C选项，可能在平面内，故错误；D选项，满足平面平行判定条件，故D正确．2．如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（）A．与是异面直线B．平面C．，为异面直线，且D．平面【答案】C【解析】A不正确，因为与在同一侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面是一个正三角形，故不可能存在平面；C正确，因为，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，因为是中点，所以，又，所以；D不正确，因为所在的底面与平面相交，将平面延伸可知与交线有公共点，故平面不正确；故选C．3．已知正方体中，，，分别是，，的中点，则下列说法错误的是（）A．平面B．平面C．平面D．平面【答案】C【解析】作出图形如图所示，为底面对角线的交点，观察可知，，，，平面，平面，平面，所以选项A，B，D正确；因为，所以与平面相交，所以选项C错误，故选C．4．如图，在正四面体中，，，分别是，，的中点，下面四个结论不成立的是（）A．平面B．平面C．平面平面D．平面平面【答案】D【解析】因为，平面，平面，所以平面，A正确；易证平面，，所以平面，所以结论B，C都正确；点在平面内的射影为的中心，不在中位线上，故D错误．5．若平面平面，点，，，，则的充要条件是（）A．B．C．与相交D．直线与直线共面【答案】D【解析】 平面平面，要使直线直线，则直线与直线是共面直线，∴，，，四点必须共面，即直线与直线共面．6．如图，在四棱锥中，与都是正三角形，平面平面，，则下列结论不一定成立的是（）A．B．平面C．D．平面平面【答案】B【解析】取的中点为，连接，． 与都是正三角形，∴，．又 ，∴平面，∴，故A不符合题意． ，，且，∴平面，∴，故C不符合题意． 平面，平面，∴平面平面，故D不符合题意．∴故选B．二、填空题7．在正四棱柱中，为底面的中心，是的中点，在上，若存在实数使得时，平面平面，则．【答案】【解析】当为的中点，即时，平面平面．理由如下： 为的中点，为的中点，所以．因为，分别为，的中点，所以，∴平面，平面，又，所以平面平面．8．如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆上异于，的一点，，为的中点，，则下列说法错误的是．（1）平面平面（2）平面平面（3）平面平面（4）平面平面【答案】（3）【解析】因为垂直于圆所在的平面，所以，因为为圆的直径，所以，因为，所以平面，又平面，所以平面平面，故（1）正确；由平面平面，及，根据面面垂直的性质定理，即可得到平面，因为平面，所以平面平面，故（2）正确；由，为的中点，得到，又由平面，得到，，∴平面，进而得到平面平面，故（4）正确；若平面平面，而，可以得到平面，则，而，则，与矛盾，故（3）不正确．三、解答题9．如图，在直三棱柱中，已知，设的中点为，，，求证：（1）平面；（2）平面．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（...
