满分示范课——解析几何解析几何部分知识点多，运算量大，能力要求高，在高考试题中大都是在压轴题的位置出现，是考生“未考先怕”的题型之一，不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算．在遵循“设——列——解”程序化运算的基础上，应突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈．【典例】(满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.[规范解答](1)由已知得F(1，0)，l的方程为x＝1.把x＝1代入椭圆方程＋y2＝1，得点A的坐标为或.又M(2，0)，所以AM的方程为y＝－x＋或y＝x－.(2)当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＜，x2＜，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋.由y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)得kMA＋kMB＝.将y＝k(x－1)代入＋y2＝1得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.所以x1＋x2＝，x1x2＝.则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0.从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补．所以∠OMA＝∠OMB.综上，∠OMA＝∠OMB.高考状元满分心得1．得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分．如第(1)问求出点A的坐标，第(2)问求kMA＋kMB＝0，判定MA，MB的倾斜角互补．2．得关键分：解题过程中不可忽视关键点，有则给分，无则没分．如第(1)问中求出直线AM的方程，第(2)问讨论直线与坐标轴是否垂直，将直线y＝k(x－1)与＋y2＝1联立得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.3．得计算分：解题过程中计算准确是满分的根本保证．如第(1)问求对点M坐标与直线AM的方程；第(2)问中正确运算出x1＋x2＝，x1x2＝，求出kMA＋kMB＝0，否则将导致失分．[解题程序]第一步：由椭圆方程，求焦点F及直线l.第二步：求点A的坐标，进而得直线AM的方程．第三步：讨论直线的斜率为0或不存在时，验证∠OMA＝∠OMB.第四步：联立方程，用k表示x1＋x2与x1x2.第五步：计算kMA＋kMB＝0，进而得∠OMA＝∠OMB.第六步：反思总结，规范解题步骤．[跟踪训练]1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长等于2，椭圆上的点到右焦点F最远距离为3.(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过F的直线与C交于A、B两点(A、B不在x轴上)，若Combin＝Combin＋Combin，且E在椭圆上，求四边形AOBE面积．解：(1)由题意，2b＝2，知b＝.又a＋c＝3，a2＝b2＋c2＝3＋c2，所以可得a＝2，且c＝1.因此椭圆C的方程为＋＝1.(2)F(1，0)．直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.由根与系数的关系，得故AB的中点为N.又Combin＋Combin＝2Combin＝Combin，故E的坐标为.因为E点在椭圆上，所以×＋×＝1，化简得9m4＋12m2＝0，故m2＝0，此时直线AB：x＝1，S四边形AOBE＝2S△AOE＝2×＝3.2．(2019·长沙模拟一中)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，定义椭圆C的“相关圆”E的方程为x2＋y2＝.若抛物线x2＝4y的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形．(1)求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；(2)过“相关圆”E上任意一点P的直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点，若OA⊥OB，证明原点O到直线AB的距离是定值，并求m的取值范围．解：(1)因为抛物线x2＝4y的焦点为(0，1)．依题意椭圆C的一个焦点为(0，1)，知c＝1，又椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，则b＝c＝1.故椭圆C的方程为＋x2＝1，“相关圆”E的方程为x2＋y2＝.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组得(2＋k2)x2＋2kmx＋m2－2＝0，Δ＝4k2m2－4(2＋k2)(m2－2)＝8(k2－m2＋2)＞0，即k2－m2＋2＞0，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝.由条件OA⊥OB得，Combin·Combin＝0，即3m2－2k2－2＝0，所以原点O到直线l的距离d＝＝，由3m2－2k2－2＝0得d＝为定值．由Δ＞0，即k2－m2＋2＞0，所以－m2＋2＞0，即m2＋2＞0，恒成立．又k2＝≥0，即3m2≥2，所以m2≥，即m≥或m≤－，综上，m≥或m≤－.
